Квадратный трёхчлен и теорема Виета Что называется квадратным трёхчленом Формулировка теоремы Виета и доказательствоФормулировка теоремы Виета и доказательство. - презентация

1 Квадратный трёхчлен и теорема Виета Что называется квадратным трёхчленом Формулировка теоремы Виета и доказательствоФормулировка теоремы Виета и доказательство Примеры заданий для решения квадратных трёхчленовПримеры заданий для решения квадратных трёхчленов Учитель: Чехова Нина Григорьевна

2 Выражение Зх 2 -2x-5 является многочленом второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами. Квадратным трехчленом называется мно­гочлен вида ах 2 + bх + с, где х переменная, а, Ь и с не­которые числа, причем а не равно 0. Значение квадратного трехчлена Зх 2 - 2х - 5 зависит от значения х. Так, например: если х = 5, то Зх 2 - 2х - 5 = 60; если х = 1 у то Зх 2 - 2х - 5 = -4; если х = -1, то 3x 2 - 2х -5 = 0; если х = 2, то Зх 2 - 2x - 5 = 3. Мы видим, что при х - 1 квадратный трехчлен Зх 2 - 2х - 5 обращается в нуль. Говорят, что число - 1 является корнем этого трехчлена. Корнем квадратного трехчлена называется значение пере­менной, при котором значение этого трехчлена равно нулю. Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ах 2 + bх + с, надо решить квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0.

3 Если х 1 и х 2 корни квадратного трехчлена ах 2 + bх + с, то ах 2 + bх + с = а (х - х 1 ) (х - х 2 ). Доказательство: Вынесем за скобки в многочлене ах 2 + bх + с множитель а. Получим: ах 2 +bх + с =а(x 2 +(b/a)x +c/a) Так как корни квадратного трехчлена ах 2 + bх + с являются также корнями квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, то по теореме Виета x 1 +x 2 =-b/a, x 1 *x 2 = c/a Отсюда b/a, = -(x 1 + x 2 ), а c/a=x 1 *x 2 Поэтому х 2 + b/a х + c = х 2 -(x 1 + х 2 )х + х 1 *х 2 =x 2 - x 1 x -x 2 x +x 1 x 2 =x (x - x 1 )-x 2 (x-x 1 )=(x-x 1 )(x -x 2 ) Итак, ах 2 + bх + с = а (x - х 1 ) (x - х 2 ). ч.и.т.д. Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами пер­вой степени.

4 Доказательство: Пусть трехчлен ах 2 + bх + с не имеет корней. Пред­положим, что его можно представить в виде произ­ведения многочленов первой степени: ах 2 + bх + с = (kx + т) (рх + q), где k, т, р и q некоторые числа, причем k не равно 0 и p не равно 0. Произведение (kx + т) (рх + q) обращается в нуль при x=-m/k и x=-q/p Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах 2 + bх + с, т.е. числа -m/k и -q/p являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет. Основоположником этой теоремы был Франсуа Виет- выдающийся французский математик XVI века, положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии юрист, по склонности души математик.

5 Биография Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату Шарант. Отец Виета был юристом, а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году.

6 В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти. Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии. Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел ( ), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» символический язык алгебры. Только часть трудов этого талантливого и плодовитого учёного была издана при жизни Виета. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью.

7 Научная деятельность Виет чётко представлял себе конечную цель разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью: Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий. Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

8 Другие заслуги Виета: знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней; новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, применимый также для трисекции угла; первый пример бесконечного произведения: полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней; идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений; оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами.

9 Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Английский учёный Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: вместо заглавных букв применяет строчные, степени записывает не словесно, а мультипликативно (aaa вместо a3), использует знак равенства (предложенный в 1557 году Робертом Рекордом), а также придуманные самим Хэрриотом символы сравнения «>» и «

10 1 уровень сложности Выделим из трехчлена Зх х квадрат дву­члена. Решение: Вынесем за скобки множитель 3: Зх 2 -36х = 3(х 2 -12х + 140/3 ). Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12x в виде произведения 2 6 х, а затем прибавим и вычтем 6 2. Получим: Зх 2 -36х = 3[ х 2 -12х + 140/3 ) = = 3[x 2 -2*6*х /3) = 3((х-6) /3 ) = 3(х-6) Значит, Зх х = 3 (х - 6) Ответ: 3 (х - 6)

11 2 уровень сложности Найти все пары квадратных трехчленов x 2 + ax + b, x 2 + cx +d такие, что a и b – корни второго трехчлена, c и d – корни первого. Решение: x 2 + ax, x 2 - ax, a – любое число; x 2 + x - 2, x 2 + x - 2. По теореме Виета a = -(c + d), b = cd, c = -(a+b), d = ab. Получили систему уравнений a + b + c = 0, a + c + d = 0, b = cd, d = ab, которая равносильная системе a + b + c = 0, b = d, b = bc, b = ab, Если b = 0, то d = 0, c =- a, a – любое. Если же b 0, то a = c = 1, b = d =- 2. Ответ: x 2 + ax, x 2 - ax, a – любое число; x 2 + x - 2, x 2 + x - 2.

12 3 уровень сложности: Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами. Решение: Рассмотрим квадратный трехчлен f (x) = ax 2 + bx + c. Выделим полный квадрат, для этого обозначим t = x + b/2a и D = b 2 - 4ac. Тогда ax 2 + bx + c = at 2 – (D/4a 2 ) При D 0 положим p =. Тогда искомое представление a(t 2 – D/4a 2 ) = a/2((t - p) 2 + (t + p) 2 ) = a/2(x+(b--D)/2a) 2 +a/2(b+-D)/2a ) 2. При D > 0 положим q =. Тогда a(t 2 – D/4a 2 ) = a(2(t + q) 2 - (t + 2q) 2 ) = 2a(x + (b+D/2)/2a) 2 -a(x+(b+2D) 2