Геометрия приходит на помощь алгебре Составила: учитель математики Иванова Наталия Валериевна. - презентация

1 Геометрия приходит на помощь алгебре Составила: учитель математики Иванова Наталия Валериевна

2 Цель: Показать возможность доказательства алгебраических задач методом подобия на примере доказательства бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

3 Почему геометрическая ? Так как каждый член геометрической прогрессии, кроме первого и последнего, есть среднее геометрическое двух соседних с ним членов :

4 Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле : Где - 1- й член геометрической прогрессии, - знаменатель геометрической прогрессии.

5 Для вывода рассмотрим чертеж g

6 Докажем формулу для прогрессии вида: 1,,,, …, где. Отрезки ОС, АВ, А В, А В, А В, … графически изображают величину членов данной прогрессии. Это утверждение следует из подобия треугольников: АСВ, А ВB, А В B, …, если принять ОС=1 и АВ=, AD=1. В самом деле: и т. д.. g

7 Сумма членов данной прогрессии графически изображается стороной ML квадрата OLMN. Найдем ML. CBD OCM, поэтому Итак, g

8 Если прогрессия имеет вид где то g

9 Таким образом : Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле : Где - 1- й член геометрической прогрессии, - знаменатель геометрической прогрессии.

10 Историческая справка или Ахиллес и черепаха Ахиллес и черепаха двигаются в одном направлении. Ахиллес, находящийся позади черепахи на 100 м и двигающийся со скоростью, в десять раз большей, чем черепаха, никогда ее не догонит. Этот софизм принадлежит древнегреческому философу Зенону (V в. до н. э.). А вывод вытекает из следующего суждения. Когда Ахиллес пройдет 100 м, черепаха окажется впереди его на 10 м; когда же Ахиллес пройдет эти 10 м, черепаха продвинется вперед на 1 м. Если же Ахиллес пройдет этот 1 м, то черепаха будет впереди его на 0,1 м. Таким образом, черепаха всегда будет находиться впереди Ахиллеса. Логическая ошибка раскрывается, если учесть, что перемещение Ахиллеса и черепахи идет по закону убывающей геометрической прогрессии:

11 Использованные ресурсы 1. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах./ А. А. Колосов. М.: Государственное учебно - педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, Вопросы внеклассной работы по математике./ А. П. Подашов. М.: Учпедиздат, Интернет - ресурсы.