Неотрицательное решение задачи Коши. Нередко постановка задачи требует чтобы фазовые переменные принимали лишь неотрицательные значения. Так, в физических. - презентация

1 Неотрицательное решение задачи Коши

2 Нередко постановка задачи требует чтобы фазовые переменные принимали лишь неотрицательные значения. Так, в физических процессах неотрицательными остаются энергии частиц, в химических – концентрации и количества реагирующих веществ, в биологических – численность особей, в экономических – капиталы, цены. Фазовым пространством таких динамических систем является подмножество евклидова пространства Математическое моделирование процессов отбора2

3 Будем говорить, что задача Коши имеет неотрицательное решение, если все его компоненты неотрицательны для любых рассматриваемых значений параметра. Также будем называть начальные условия = неотрицательными, если все координаты вектора неотрицательны. Математическое моделирование процессов отбора3

4 Пусть задана система дифференциальных уравнений в нормальной форме: Теорема. Для того чтобы решение этой системы при любых неотрицательных начальных условиях было неотрицательным, необходимо и достаточно чтобы функции удовлетворяли условию квазиположительности: при любых неотрицательных переменных Математическое моделирование процессов отбора4

5 Доказательство. Необходимость: Берём начальные условия так, чтобы одна фазовая координата была равна нулю, а остальные были неотрицательными. Математическое моделирование процессов отбора5

6 В последующие моменты времени: Следовательно, доказывает условие квазиположительности. Математическое моделирование процессов отбора6

7 Достаточность: Рассмотрим вспомогательную систему, зависящую от : Правые части этой системы удовлетворяют условию квазиположительности, т.е. эта система имеет неотрицательное решение с компонентами. Математическое моделирование процессов отбора7

8 В силу непрерывной зависимости решения от параметра предел решения системы при является решением системы: Поскольку знак неравенств в пределе сохраняется, то, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора8

9 Следствие 1. Пусть в системе для некоторого индекса i выполнено условие при всех. Тогда при любых начальных условиях с неотрицательной i – й координатой решение системы будет иметь соответствующую неотрицательную компоненту. Математическое моделирование процессов отбора9

10 Доказательство. Доказывается также как и теорема, только требуется неотрицательность лишь -й компоненты. Математическое моделирование процессов отбора10

11 Следствие 2. Пусть для правой части i-го уравнения системы условие квазиположительности выполняется в виде равенства при любых неотрицательных переменных. Если при этом в начальный момент времени задано условие, то для всех справедливо равенство. Математическое моделирование процессов отбора11

12 Доказательство. Сделав замену приходим к системе Так как то -я компонента решения этой системы неотрицательна,,, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора12

13 Следствие 3. Пусть для системы выполнено условие. Если при этом i координата начальных условий удовлетворяет строгому неравенству, то для всех справедливо неравенство. Математическое моделирование процессов отбора13

14 Доказательство. Предположим, что в некоторый момент времени - я компонента обращается в ноль: Тогда, задача Коши будет содержать равную нулю компоненту. Математическое моделирование процессов отбора14

15 Через точку фазового пространства будут проходить две различные кривые. Получили противоречие. Следовательно предположение что обратится в ноль неверно, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора15

16 Следствие 4 Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: С начальными условиями: Математическое моделирование процессов отбора16

17 Если в системе функции квазиположительные по переменным, а начальные условия неотрицательны по, то решение задачи Коши будет неотрицательным по переменным. Математическое моделирование процессов отбора17

18 Следствие 5. Если в системе функции удовлетворяют условию квазиположительности в виде равенства при неотрицательных компонентах z и произвольных компонентах y, начальные условия не тривиальны и неотрицательны по z, то решение задачи Коши будет нетривиальным и неотрицательным по переменным z. Математическое моделирование процессов отбора18

19 Нулевым компонентам в начальных условиях будут соответствовать нулевые компоненты в решении. Математическое моделирование процессов отбора19