Курс математической статистики Лекционный материал Преподаватель – В.Н. Бондаренко. - презентация

1 Курс математической статистики Лекционный материал Преподаватель – В.Н. Бондаренко

2 Содержание Тема 4. Статистическая проверка статистических гипотез 1.Понятие статистической гипотезы и ее виды 2.Ошибки первого и второго рода 3.Проверка нулевой гипотезы 4.Множество значений гипотезы. Критические точки. 5.Правосторонняя критическая область 6.Левосторонняя и двусторонняя критические области

3 4.1 Понятие статистической гипотезы и ее виды Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Различают выдвинутую и противоречащую ей гипотезы. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H 0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H 1, которая противоречит нулевой. Пример: Нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание a нормального распределения равно 10. Конкурирующая гипотеза состоит в предположении, что a 10. Короткая запись – H 0 : a = 10; H 1 : a 10

4 4.1 Понятие статистической гипотезы и ее виды Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Пример 1: Если λ – параметр показательного распределения, то гипотеза H 0 : λ = 5 – простая, а сложная гипотеза H: λ > 5, т.к. состоит из бесчисленного множества простых гипотез. Пример 2: Гипотеза H 0 : математическое ожидание нормального распределения равно 3 (σ известно) – простая, а гипотеза H 0 : математическое ожидание нормального распределения равно 3 (σ неизвестно) – сложная.

5 4.2 Ошибки первого и второго рода Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость статистической проверки гипотезы. При проверке правильное решение может быть принято в двух случаях: 1)Гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная 2)Гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна При проверке неправильное решение может быть принято также в двух случаях, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

6 4.3 Проверка нулевой гипотезы Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы, называют статистическим критерием К (или просто критерием). Пример: Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных распределений, случайную величину, которая распределена по закону Фишера-Снедекора:

7 4.3 Проверка нулевой гипотезы Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значение входящих в критерий величин и получают частное (наблюдаемое) значение критерия Значение критерия, вычисленное по выборкам, называют наблюдаемым значением критерия К набл. Пример: Если по двум выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии 20 и 5, соответственно, то наблюдаемое значение критерия:

8 4.4 Множество значений гипотезы. Критические точки После выбора статистического критерия множества всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: Критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Область принятия гипотезы (допустимых значений) – совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если значения критерия принадлежит области допустимых значений гипотезы – гипотезу принимают.

9 4.4 Множество значений гипотезы. Критические точки Критическая область и область принятия гипотезы являются интервалами и есть точки, которые их разделяют. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называют критическими точками k кр (границами). Различают одностороннюю (лево- и правостороннюю) и двустороннюю критические области: Правосторонняя – критическая область, которая определяется неравенством K > k кр, где k кр > 0 Левосторонняя – критическая область, которая определяется неравенством K < k кр, где k кр < 0 Двусторонняя – критическая область, которая определяется неравенствами K k 2, где k 1 > k 2

10 4.5 Правосторонняя критическая область Для поиска правосторонней критической области необходимо найти критическую точку k кр так, чтобы вероятность того, что критерий К примет значение, большее k кр, была равна принятому уровню значимости α: Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Когда критическая точка найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия, и если К набл > k кр, нулевую гипотезу отвергают, а если К набл < k кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу Замечание: К набл > k кр может быть следствием малого объема выборки, недостатков эксперимента и пр. В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода, вероятность которой равна уровню значимости α

11 4.6 Левосторонняя и двусторонняя критические области Для поиска левосторонней критической области необходимо найти критическую точку k кр так, чтобы вероятность того, что критерий К примет значение, меньшее k кр, была равна принятому уровню значимости α: Для поиска двусторонней критической области необходимо найти критические точки k 1 и k 2 так, чтобы сумма вероятностей того, что критерий К примет значение, меньшее k 1 или большее k 2, была равна принятому уровню значимости α: Если распределение критерия и критические точки симметричны относительно нуля, тогда критические точки двусторонней критической области находятся по формуле: