Задачи с параметрами В презентации представлен проект Т.П. Ефремовой «Решение задач с параметром в 7-11 классах». Данную работу можно использовать на уроках. - презентация

1 Задачи с параметрами В презентации представлен проект Т.П. Ефремовой «Решение задач с параметром в 7-11 классах». Данную работу можно использовать на уроках алгебры как в классах с базовым уровнем, так и в классах с расширенным или углубленным изучением алгебры. Работа выполнена в прoграммах Word и PowerPoint. Проект будет интересен учителям при объяснении нового материала, а также при формировании навыков решения задач с параметром. Для учащихся эта работа может быть пособием при самостоятельном изучении данной темы. В презентации представлены графические и аналитические способы решения уравнений, неравенств и систем уравнений с параметром. 56 гимназия ,Санкт-Петербург, Чкаловский проспект,35

2 Классификация задач с параметром Линейные уравнения и неравенства с параметром Системы линейных уравнений и неравенств с параметром Дробно-рациональные уравнения с параметром Квадратные уравнения и неравенства с параметром Иррациональные уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства Тригонометрические уравнения и неравенства

3 Линейные уравнения с параметром Линейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b. Решая линейное уравнение, необходимо рассмотреть коэффициент при переменной х. Если а=0, b=0, то 0x=0, х - любое число. Если а=0, b0, то 0x=b, нет корней. Если а0, то x=b/a. Ответ: если а=0, b=0, то х - любое число; если а=0, b0, то нет корней; если а0, то x=b/a. В уравнениях с параметром ответ часто почти полностью дублирует решение, но при этом запись ответа обязательна.

4 Линейные неравенства с параметром Решая линейное неравенство с параметром, необходимо привести его к виду ax>b,затем рассмотреть значения параметра, при которых коэффициент при переменной х является положительным, отрицательным и равным нулю. Неравенства вида и т. д. исследуются и решаются аналогично. Неравенства вида и т. д. исследуются и решаются аналогично.

5 Графический метод решения линейных неравенств 2ax>b Построим графики функций y=2ax и у=b y x b b/(2a) При a>0 x>b/(2a) y x b b/(2a) При a

6 Системы линейных уравнений с параметром y x y x y x Ø 1 решение При решении систем уравнений с параметром используются методы подстановки, сложения, замены и т. д. Если в задании необходимо определить количество решений системы линейных уравнений, то можно опираться на тему «Взаимное расположение прямых на плоскости».

7 Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая., то эти прямые пересекаются в одной точке, значит система уравнений имеет одно решение. Если, то прямые параллельны, значит система уравнений не имеет решений. Если то прямые совпадают, значит система уравнений имеет бесконечно много решений. Если

8 Решить систему неравенств Решение: Если m=7 m 7 X m 7 X Если m>7 m 7 X Если m

9 Решить уравнение: Решение: О.Д.З.: (4m-9)x=31-2m Дробно-рациональные уравнения с параметром При решении дробно-рациональных уравнений с параметром необходимо сначала найти О.Д.З. уравнения. Затем обе части уравнения умножить на общий знаменатель и решить полученное уравнение с параметром с учетом О.Д.З. Эти задачи решаются аналитическим способом.

10 (4m-9)x=31-2m если, то, решений нет; если, то Но x-3, значит найдем значения m, при которых m=-0,4 Ответ: если m=1, то уравнение не определено; если, m=-0,4,, то решений нет; если m -0,4, m 1,

11 Квадратные уравнения с параметром задача1. Решить уравнение: (а-5)х +3ах-(а-5)=0. При решении квадратного уравнения необходимо рассмотреть значения параметра, при которых старший коэффициент равен 0. В этом случае квадратное уравнение становится линейным. При a=5 15x=0, x=0 Далее, при a5 2 Ответ: при a=5 x=0; при а5

12 0 х у а Ответ: 0

13 Теорема Виета часто используется при решении задач с параметром, в которых идет речь о знаках корней или говорится о сумме (разности) квадратов (кубов) корней квадратного уравнения с параметром. Задачи с параметрами на применение теоремы Виета Решить задачу: При каких значениях a корни уравнения x-3ax+a=0 таковы, что сумма их квадратов равна. Решение: Ответ: а=±0,5

14 +-+ a a -+-+ Задача 1: При каких значениях a для всех действительных x верно неравенство ax²-2ax+1>0? Решение: 1. Пусть a=0, тогда получаем верное числовое неравенство 1>0. 2. Рассмотрим функцию: y=ax ² -2ax +1 при а 0. Неравенство верно при любом x, если график функции имеет вид: + Х Ответ: при Квадратные неравенства с параметром Квадратные неравенства легче решаются графическим методом, через исследование знаков первого коэффициента и дискриминанта.

15 выполняется при любых значениях х? х /////////////////////////////////// Ответ: а>1/2 а>0 D0 1-2а0 а>1/2, а>1/2. Решение: 1) Если а=0, то х>-2; 3) График будет целиком расположен выше оси х, если выполняются условия: Задача 2. При каких значениях а неравенство

16 Если х > 1, и выполняется при Т.О. решение неравенства зависит от взаимного расположения чисел х = 1 и х = -а. Иррациональные неравенства с параметром Задача 1. Решить неравенство ОДЗ : Решение: х = 1 является решением неравенства при любом а. Если 1 < -a, то Если 1то х = 1. Ответ: при ; х = 1. при 1 а 1 а х х 1

17 Задача 2 При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? 0 х у Ответ: 1) уравнение не имеет решения при а>2, а

18 Это простейшее логарифмическое уравнение имеет решение, если х>0, a>0, a1 Логарифмические уравнения Задача. Указать при каких значениях а, уравнение имеет решение и найти это решение Решение: log a x+2 log a x+3/2 log a x = 27, 4,5log a x=27, log a x=6. Итак, при a>0, a1, х 6 =а, а 6 >0, значит, при а (0:1);(1:+), х = а 6 Ответ: а (0:1) U (1:+), х = а 6

19 Задача 2: Найти все значения а при которых уравнение имеет 2 действительных корня

20 Задача 1: При всех а решить уравнение: sin (x/2-π/2) = a-2 Решение. sin (x/2-π/2) = a-2; cos x/2 = 2-a. Т.к. |cos t | 1, то если -12-а1; 1а3 Т.е. при 1а3 х/2 = ±arccos(2-a) + 2πn, n Z; x=± 2 arccos(2-a) + 4πn, n Z Ответ: при 1а3 x=± 2 arccos(2-a) + 4πn, n Z при а (-;1) U (3;+) решений нет. Тригонометрические уравнения

21 Задача 2: Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение

22 Задача 3: Решить уравнение при всех значениях параметра a 1.) a=1, то 0

23 2.) a1 Проверим выполнение условия (*): Ответ:

24

25 Задать формулой «семейство» графиков (Устная работа 1) У=-х+а У=lхl+а, а0 У=lх+аl, а0 а а а х х х у у у 0 х а уУ=(х+а)²,а0

26 Задать формулой «семейство» графиков (Устная работа 2) У=х+а У=lхl+а У=lх+аl, а0 а а а х х х у у у 0 х а у У=(х+а)²,а0

27 Задать формулой «семейство» графиков ( Устная работа 3) У=-2х+а У=lхl+а, а0 У=lх+аl а а а а х х х х у у у У=х+а 1 2 у

28 Задать формулой «семейство» графиков (Устная работа4) 0 х у х у 0 х у в х²+(у-в)²=4, где (0;в)-центр а lхl+lуl=а, а0 а У=а²-х² 0 х 1 а (х-а)²+у²=1, где (а;0)-центр у 2 0

29 Задать формулой « семейство»графиков (Устная работа 5) 0 х у 0 у 0 х у 0 у а (х+2)²+(у-в)²=4, где (-2;в)-центр а lхl+lу+1l=а, а0 а У=-а²-х² У=(х+а)³ а -2 х х

30 При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения? 8 решений? Не имеет решений? 0 3 х у 3 -3 lхl+lуl=3 х²+у²=а 3 1,52 Ответ: 1) 4 решения при а=4,5 и а=9; 2) Система уравнений Имеет 8 решений при 4,5

31 4 При каком наибольшем значении а система уравнений имеет решение? (х-3²+(у+1)²1, (х+1)²+(у-2)²=а+5 Решение: х²+у²-6х+2у+90, х²+у²+2х-4у=а 2 х у 0 Ответ: а=31. 3 А В С R=а+5 АВ=(3+1)²+(2+1)²=5 АС=5+1=6 а+5=6, а=31.

32 При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения? 8 решений? Не имеет решений? 0 3 х у 3 -3 lхl+lуl=3 х²+у²=а Задача1. 1,52 Ответ: 1) 4 решения при а=4,5 и а=9; 2) Система уравнений Имеет 8 решений при 4,5

33 Задача 3 При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений? х²-4х+у²+а²=2ау (х-5)²+(у-3)²= х у 0 (х-2)²+(у-а)²=4 (х-5)²+(у-3)²=1 Ответ: а3

34 При каких значениях а система уравнений имеет одно решение? ху=4 у=-х+а 0 х 2 2 Ответ: а=±4 4 4 Построим графики функций У=4/х У=-х+а у Задача 4.

35 0 х у Ответ: а>6, а

36 Задача6. При каком наибольшем значении а система уравнений имеет решение? (х-3)²+(у+1)²1, (х+1)²+(у-2)²=а+5 Решение: х²+у²-6х+2у+90, х²+у²+2х-4у=а 2 х у 0 Ответ: а=31. 3 А В С R=а+5 АВ=(3+1)²+(2+1)²=5 АС=5+1=6 а+5=6, а=31.

37 Презентация к уроку

38 Задать формулой «семейство» графиков У=2х+а У=lхl+а, а0 У=-lх+аl, а0 а а а х х х у у у 0 х а у У=(х+а)²+1,а0 у 2 1

39 Задать формулой «семейство» графиков 0 х у 0 х у 0 х у в х²+(у-в)²=25, где (0;в)-центр а lхl+lуl=а, а0 а У=а²-х² 0 х 4 а (х-а)²+у²=16, где (а;0)-центр у 5

40 При каких значениях параметра а система уравнений имеет 8 решений? 0 4 х у 4 -4 lхl+lуl=4 х²+у²=а 3 Ответ: 8

41 При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений? х²-4х+у²+а²=2ау (х-5)²+(у-3)²= х у 0 (х-2)²+(у-а)²=4 (х-5)²+(у-3)²=1 Ответ: а3 4

42 Самостоятельная работа 0 х у 1 х 2 Ответ: а7 /////////////////////////////// Ответ: а

43 0 х у 0 х Ответ: а=± Ответ: а>6, а