««Тема проекта: Решение уравнений 3 степени.Творческое название « Заглянем в мир формул…» - презентация

1 «

2

3 Тема проекта: Решение уравнений 3 степени.

4 Творческое название « Заглянем в мир формул…»

5

6 Дидактические цели проекта 1. Развитие познавательной активности учащихся. 2. Формирование компетенций в сфере само- стоятельной познавательной деятельности. 3. Формирование навыков работы в группах. 4. Создать условия для осмысления учеб- ной информации. 5. Приобретать умения видеть проблему и на- метить пути ее решения. 6. Включить в учебный процесс активность, интерес и сознательную самореализацию обучаемого.

7 Расширить знания в области умений решать уравнения 3 степени. Вывод свойств корней кубического уравнения. Показать практическую значимость связей корней кубического уравнения с его коэффициентами.

8 Установить, существует ли формула, выражающая корни кубического уравнения через конечное число алгебраических действий над его коэффициентами. Свойство корней кубических урав- нений.

9 1. Какова связь корней кубического уравнения с его коэффициентами? 2. Имеют ли практическое приме- нение наши результаты исследова- ния? 3. Что общего и какое различие в системе «Квадратные уравнения кубические уравнения»?

10 1. Формирование инициативной группы для проведения исследования по проблеме « Поиск формулы существования общей формулы решения кубических уравнений » ( ). 2. Самостоятельная работа группы, подготовка творческого отчета в виде презентации ( ). 3. Обсуждение полученных результатов исследований с учителем ( – 2 часа ). 4. Демонстрация результатов исследования на уроке ( ).

11 инициативной группы

12 Необходимые дидактические и организационные материалы 1. Тесты для самостоятельного выпол- нения. 2. Тесты для выполнения дома. 3. План – конспект урока – презентации. 4. Анкета – рефлексия.

13 Информационные ресурсы Список литературы: 1)ЕГЭ по математике – Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков и др. Чебоксары, )Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, В.В.Сильвестров. Чебоксары, )Задачи по математике. Алгебра. Вавилов В.В., Олехник С.Н. - М.: Наука, )Конкурсные задачи по математике под редакцией М.И.Сканави, )За страницами учебника алгебры, Л.Ф.Пичурин. -М.: «Просвещение», )Справочник по математике. И.Н.Бронштейн. -М.:ГИТЛ, 1953.

14 Краткая аннотация проекта Данный проект направлен на закрепление и углубление знаний по алгебре. Рассчитан для учащихся 10 класса профиль- ной школы и предполагает изучение темы «Корни многочлена» и «Решение задач с па- раметрами». Практические занятия, работа со справочной литературой и самостоятельные исследо- вания помогут учащимся ответить на проб- лемные вопросы и вопросы учебной темы.

15 Посредством уравнений, теорем Посредством уравнений, теорем Уйму всяких разрешается проблем! Уйму всяких разрешается проблем! И засуху предсказывают, и ливни. И засуху предсказывают, и ливни. Поистине его познанья дивны. Поистине его познанья дивны.

16

17

18 Установить, существует ли формула, выражающая корни кубического уравнения через конечное число алгебраических действий над его коэффициентами. Свойство корней кубических урав- нений.

19 Методы решения уравнений 1. Метод понижения степени уравнения, основанный на теореме Безу и деле- нии многочлена на одночлен х-а, где а – корень уравнения. 2. Разложением многочлена на мно- жители. 3. Использование теоремы Безу и метода неопределенных коэффи- циентов.

20 х 3 + 2х 2 - 5х - 6=0 Выделим полный куб в уравнении: (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+3ха 2 +а 3 2х 2 = 3х 2 а а=

21

22 ( х х 2 а+ 3 х + ) - 3 х х - 6 = =(х+ ) Подстановка у= х +, т.е. х=у- у ( у - )- 6 =0 Исходное уравнение приняло вид: у у – 2 =0

23 х 3 +2х 2 -5х – 6 = 0 Выделим полный куб так, чтобы исчез член -5х. (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 +3а 2 +а 3 Отыскали такое а, чтобы 3а 2 х = - 5х, т.е. чтобы а 2 = -

24 Даль Ферро (1465 – 1526) x 3 + px =q

25

26 Х=

27

28

29

30 Квадратный корень из отрицательного числа?

31

32 Х = 1 х 3 +3х -4=0

33 х 3 + 6х +2 =0 Решив данное уравнение, получили: х = - -

34 В чем причина? Уравнение х 3 -7х +6 = 0 имеет 3 корня. р=-7; q =6 D = = 9 - D

35

36

37 Как уравнение вида ах 3 +вх 2 +сх+d=0 привести к виду х 3 + рх + q =0 ?

38 Обозначим r=±. Знак r совпадает со знаком q. сos = у 1 = -2 сos у 2 = r cos(60º - у 3 =r cos(60º + ) )

39

40

41 ах 3 +вх 2 +сх +d=0 Пришли к уравнению у 3 +ру+q=0. q= - + ; р=

42 х 3 +2х 2 -5х -6 =0 а=1; в=2; с=-5; d=-6 р= = q= = -

43

44 ЕГЭ – 2004 Упр. 273 При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х 3 -3х+4 = а имеет 1 решение?

45 Тесты

46 ЕГЭ – 2004 Упр. 274 При каком наибольшем натуральном значении параметра уравнение х 3 +3х х +6-3а=0 имеет 3 корня?

47

48

49 ЕГЭ В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х 3 - 3х –а = 0

50 1 решение а= -2;2 2 решения а (-2;2) 3 решения D = + = + (-1) 3 = а (-;-2) (2;) _+. __-__. _+ -2 2

51 Тестирование. 1. Сколько корней имеет уравнение: а)х 3 -12х +8 = 0; б)х 3 - 9х + 14 = 0. Ответы: а) 1; б) 2; в) нет корней; г) 3 2.При каких значениях р уравнение х 3 + рх + 2 = 0 имеет 2 корня? а) 2; б) -3; в) 1; г) -2

52 х 3 -12х+8=0 D=16 +(-64)=-48. Ответ: в) 3

53 х 3 – 9х +14 = 0 D = 22 Ответ: а) 1.

54 х 3 +рх +2= 0 D= = D = 0; р = 0; р = - 2. Ответ: г) – 2.

55 Задание на дом: * При каком наибольшем целом отри- цательном значении параметра в уравнение 2х 3 +3х 2 -12х = 3в имеет 3 корня? * При каких значениях параметра уравнение 2х 3 +3х 2 +1 –а =0 имеет 3 различных корня?

56 Франсуа Виет

57

58 х 3 + 2х 2 – 5х -6 =0 ±1;±2; ±3; ±6 -3; -1; 2

59 х 3 +2х 2 – 5х – 6=0 х 3 +2х 2 – 5х – 6= х 3 +3х 2 –х х – 2х –6=(х 3 +3х 2 )-(х 2 +3х)- -(2х+6) = х 2 (х+3) - х(х+3)- -2(х+3)=(х+3)(х 2 –х-2)= =(х+3)(х+1)(х-2) Корни: -1; 2; -3

60 х 3 -12х +16 = х 3 -4х-8х+16 = =(х 3 -4х)-(8х-16)=х(х 2 -4) – 8(х-2) = =х(х–2)(х+2) – 8(х-2)= =(х-2)(х 2 +2х -8) Х-2=0 или х 2 +2х -8=0 Х=2 х 1 =-4; х 2 =2.

61 х 3 +рх 2 +qх + r=0 х 1, х 2, х 3 (х - х 1 ) (х-х 2 ) (х - х 3 )=0, х 3 – (х 1 +х 2 + х 3 ) х 2 +(х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 )х – - х 1 х 2 х 3 =0 х 1 +х 2 + х 3 = -р; х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 = q; х 1 х 2 х 3 = - r.

62 Тесты 1.х 3 +рх 2 +19х -12 =0 имеет корни 1,3,4. Найти коэффициент р. 2.Уравнение х 3 -10х 2 +41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r. Ответы: а) -30; б) 12; в) -8; г) - 41.

63 1.х 3 +рх 2 +19х -12 =0 имеет корни 1,3,4. Найти коэффициент р. Ответы: а) -30; б) 12; в) -8; -41. Решение. х 1 +х 2 +х 3 = -р; -р =1+3+4= 8; р = -8. Ответ: в.

64 2.Уравнение х 3 -10х 2 +41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r. Ответы: а) -30; б) 12; в) -8; -41. Решение. х 1 х 2 х 3 = -r х 1 х 2 х 3 = = 30; r = -30. Ответ: а) -30.

65 Сборник конкурсных задач по математике. М.И.Сканави. Решить уравнение 3х 3 +2 х -21х +6 =0, если известно, что произведение его корней равно 1.

66

67 Выводы: 1.Существует формула, выражающая корни алгебраического урав- нения третьей степени.

68 С учетом дополни- тельных условий можно применить формулу Кардано для уравнений вида х 3 + рх + q =0

69 Формула КарданоФормула Кардано Формула Кардано

70 Корни уравнения х 3 +рх 2 +рх+r=0 связаны следующим образом: х 1 +х 2 +х 3 = - р; х 1 х 2 +х 1 х 3 +х 2 х 3 = q х 1 х 2 х 3 = - r;

71 Итак, ребята, подведем итог нашей работы: 1. Всякое разумное рассуждение развивает и обогащает, а наши рассуждения были именно такими. 2. В ходе работы над решением проблемы мы учи- лись обобщать и рассматривать частные случаи. 3. Приобретенный опыт может оказаться полезным при решении других проблем.

72 Комфортно ли вы себя чувство- вали в группе? Интересна ли для тебя эта тема? Легко ли вы находили нужную для себя информацию? Что понравилось вам в ходе проекта? Что не понравилось вам в хо- де проекта?

73