МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО к.т.н. доцент кафедры «Прикладная математика» НГТУ С.Н. Постовалов. - презентация

1 МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО к.т.н. доцент кафедры «Прикладная математика» НГТУ С.Н. Постовалов

2 Вычисление числа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 2

3 Вычисление числа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 3 R

4 Вычисление числа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 4

5 Генераторы псевдослучайных чисел Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 5 ГенераторФормула 1Метод Фибоначчи с запаздываниями 2Линейный конгруэнтный генератор 3Мультипликативный конгруэнтный генератор 4Линейная рекуррентная последовательность порядка P над конечным полем 2 P 5Регистр сдвига с линейной обратной связью (LSFR)

6 Генератор псевдослучайных чисел Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 6 ГенераторГод, авторыПериод 1RANDU1960 2MERSENNE TWISTERM. Matsumoto, T. Nishimura, Well equidistributed long- period linear WELL512 WELL1024 WELL19937 WELL44497 F. Panneton, P. L'Ecuyer, and M. Matsumoto,

7 Сколько бросить точек? Число точекПопало в круг Оценка (Первые 16 знаков числа ) 36283, , , , , , , , , , Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 7 Для вычисления числа использован генератор WELL44497

8 Вычисление вероятности появления некоторого случайного события Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 8 Пусть требуется вычислить вероятность P появления некоторого случайного события A. В каждой из реализаций процесса количество наступлений события является случайной величиной, принимающей значение 1 с вероятностью P, и значение 0 с вероятностью (1-P).

9 Вычисление вероятности появления некоторого случайного события Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 9 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны

10 Вычисление вероятности появления некоторого случайного события Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 10 В качестве оценки для искомой вероятности P принимается частота M/N наступлений события A при N реализациях

11 Вычисление вероятности появления некоторого случайного события Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 11 В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей частота при достаточно больших имеет распределение, близкое к нормальному:

12 Вычисление вероятности появления некоторого случайного события Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 12 Поэтому - квантиль стандартного нормального распределения

13 Вычисление вероятности появления некоторого случайного события Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 13 Таким образом, -доверительный интервал имеет вид: Отсюда количество реализаций N, необходимое чтобы доверительный интервал имел длину 2, равно

14 Сколько бросить точек? Число точек Попало в круг Оценка 99%-доверительный интервал 36283, ,47443, , ,05853, , ,05983, , ,06053, , ,06843, , ,11943, , ,11943, , ,12053, , ,13773, , ,13883, Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 14 Для вычисления числа использован генератор WELL44497

15 Сколько бросить точек? Половина длины доверительного интервала Требуемое число точек для вычисления числа 1,00E-011,5 E+03 1,00E-021,5 E+05 1,00E-031,5 E+07 1,00E-041,5 E+09 1,00E-051,5 E+11 1,00E-061,5 E+13 1,00E-071,5 E+15 1,00E-081,5 E+17 1,00E-091,5 E+19 1,00E-101,5 E Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 15

16 Сколько бросить точек? Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 16 Если в эксперименте одновременно оцениваются разные вероятности (например, в случае построения эмпирической функции распределения), то можно взять максимум функции P(1-P) = 0,25: На практике вероятность P обычно неизвестна. Поэтому для определения количества реализаций выбирают N 0 =50-100, по результатам реализаций определяют P 0 и затем определяют требуемый объем моделирования:

17 Применение метода Монте-Карло в математической статистике Аналитическими методами как правило можно получить результаты в крайних случаях: – при малых объемах выборки наблюдений – в асимптотике при Методом Монте-Карло можно получить результаты с приемлемой для практики точностью для «реальных ситуаций» Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 17

18 Применение метода Монте-Карло в математической статистике Исследование свойств методов оценивания параметров законов распределения Исследование робастности статистических процедур Определение законов распределения статистик критериев проверки статистических гипотез Исследование мощности критериев проверки статистических гипотез Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 18

19 Исследование распределений статистик критериев согласия Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 19

20 Исследование распределений статистик критериев согласия Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 20

21 Исследование распределений статистик критериев согласия Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 21

22 Исследование мощности критериев согласия Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 22

23 Лабораторный практикум Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 23 Тема Лабораторный практикум 1Проверка статистической гипотезы о виде распределения: критерии согласия типа Хи-квадрат; непараметрические критерии согласия; критерии нормальности. Лабораторный практикум 2Проверка статистических гипотез об однородности: критерии однородности распределений; критерии однородности средних; критерии однородности дисперсий.

24 Индивидуальная работа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 24 ДатаРабота ПонедельникВыдача заданий для индивидуальной работы ВторникСамостоятельное выполнение индивидуальных работ СредаКонсультация по выполнению индивидуальных работ ЧетвергПодготовка презентации для защиты индивидуальной работы ПятницаЗащита индивидуальных работ СубботаНаграждение участников, выдача удостоверений о повышении квалификации слушателям, успешно защитившим индивидуальную работы

25 Индивидуальная работа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" Проверка гипотезы о виде распределения В следующей таблице приведены результаты измерений прочности провода на разрыв в деканьютонах Требуется проверить гипотезу о согласии полученной выборки с а) нормальным распределением; б) распределением Лапласа; в) логистическим распределением. Определить достигаемый уровень значимости критериев методом Монте-Карло.

26 Индивидуальная работа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" Проверка гипотезы однородности Препарат нифедипин обладает способностью расширять сосуды. Ш. Хейл предположил, что нифедипин можно использовать и при поражении сердца, вызванном кокаином. Собакам вводили кокаин, а затем нифедипин, либо физиологический раствор (плацебо). Показателем насосной функции сердца служило среднее артериальное давление. Были получены следующие данные. Проверить гипотезу: а) об однородности распределений двух выборок; б) об однородности дисперсий двух выборок. Влияет ли нифедипин на среднее артериальное давление? Определить достигаемый уровень значимости критериев методом Монте-Карло. Плацебо Нифедипин

27 Индивидуальная работа Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 27 3*. Применение метода Монте-Карло в задачах теории вероятностей и математической статистики В городе проживает n+1 человек. Один из них, узнав новость, сообщает ее другому, тот – третьему, и т.д., причем каждый человек передает новость наугад выбранному жителю, за исключением того от, которого он ее услышал. Пусть – случайная величина, равная числу передач новости от одного человека к другому до момента возвращения к тому человеку, который узнал ее первым. 1. Написать программу для моделирования закона распределения. 2. Вычислить необходимый объем выборки N для заданной точности. 3. Выполнить моделирование распределения статистики, вычислить среднее значение и дисперсию, исследовать зависимость от n. 4*. Решить задачу аналитически. Сравнить аналитические результаты с результатами моделирования.

28 Спасибо за внимание! Молодежная школа "Прикладные методы статистического анализа" 28