Презентация на тему: «Уравнения высших степеней» Разработана учителем математики высшей квалификационной категории Каратунской средней школы Апастовского. - презентация

1 Презентация на тему: «Уравнения высших степеней» Разработана учителем математики высшей квалификационной категории Каратунской средней школы Апастовского района Республики Татарстан Каримуллиной Р.Р.

2 Важнейшие факты истории уравнений 1) Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений. 2) 3 век. – древнегреческий математик Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру. 3) Рубеж 6-7 вв.- творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно). 4) Конец 15 в.- Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений, их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций. 5) 1545 г.- Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного кубического уравнения. 6) 1591 г.- французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений. 7) П. Руффини ( )– итальянский математик, дал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени. 8) Нильс Хендрик Абель ( )- занимается теорией интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией чисел. 9) Труды французского математика Эвариста Галуа ( ) – по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры.

3 Линейные уравнения, содержащие модули Квадратные уравнения ах 2 +вх+с=0 (а0) Дробные рациональные уравнения Линейные уравнения ах = в Уравнения Уравнения высших степеней

4 Краткие сведения Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение с одной переменной – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называется равносильным. Уравнения n- ой степени имеет не более n корней.

5 Линейные уравнения Уравнения вида ах = в, где х- переменная, а и в числа, называется линейным. а- коэффициент при переменной в- свободный член Если а0, то уравнение ах = в имеет единственный корень. Если а=0 и в 0, то уравнение ах = в не имеет корней. Если а=0 и в=0, корнем уравнения ах = в является любое число.

6 Квадратные уравнения Уравнения вида ах 2 +вх+с=0, где х- переменная; а, в и с некоторые числа(а 0), называются квадратными. Квадратное уравнение, в котором а=1, называется приведённым. Уравнения вида ах 2 +вх=0 и ах 2 +с=0 называются неполными квадратными уравнениями. Формулы корней:1). Д=в 2 -4ас х 1,2 =(-в +- Д)/2а 2). Д=(в/2) 2 -ас х 1,2 =(-в/2+- Д)/а Если а+в+с=0, то х 1 =1; х 2 =с/а Если а-в+с=0, то х 1 =-1; х 2 =-с/а Для уравнения х 2 +рх+с=0 х 1 +х 2 =-р х 1 *х 2 =с

7 Дробные рациональные уравнения Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называются дробными. Алгоритм решения: 1). Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2). Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3). Решить получившееся целое уравнение. 4). Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

8 Я уверен, что ты решишь все эти уравнения!!! Дерзай!!! 5х-2=3 5х-2=34(х+2)=4х-1 -6х+1=5(0,2-1,2х) -6х+1=5(0,2-1,2х) х 2 +7х+10=0 3х 2 -7х+4=0 4х 2 +6х+2=0 4х 2 +6х+2=0 6х 2 -2х=0 6х 2 -2х=0 5х 2 +1=0 5х 2 +1=0 3х 2 -27=0 3х 2 -27=0

9 Просмотри и вспомни алгоритм решения уравнений с модулями l2х-3l=4х-2; 2х-3=0; х=1,5; 1). х0; 2x-3=4x-2; -2x=1; x=-0,5; (не входит в рассматриваемый проме- жуток) Ответ: х=5/6.

10 Уравнения высших степеней Симметричные уравнения Уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу

11 Алгоритм решения симметричных уравнений. Уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от «начала» и «конца» уравнения, равны между собой, называются симметричными. 6х 4 -35х 3 +62х 2 -35х+6=0 Т.к, конечно, х0, то разделим на х 2 : 6х х /х + 6/х 2 = 0. Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами: 6(х 2 + 1/х 2 ) - 35(х + 1/х) + 62 = 0. !!Фокус!! Если х+1/х = у, то (х+1/х) 2 =у 2 ; х 2 +1/х 2 = у 2 -2; 6(у 2 - 2) - 35у + 62 = 0; 6у у + 50=0; у 1 =5/2; у 2 =10/3; х + 1/х =5/2 и х + 1/х =10/3 Решая эти уравнения, получим: х 1 =1/2; х 2 =2; х 3 =1/3; х 4 =3.

12 Уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х- а равен значению многочле- на при х = а. Р(х)=(х- а)Д(х)+R, где R= p(a) Следствие: Если а- корень многочлена Р(х), то этот многочлен без остатка делится на двучлен х- а Теорема: Целые корни уравнения n- ой степени могут быть только среди делителей свободного члена Пример: х 4 +х 3 +х 2 +3х+2=0. Делители свободного члена + - 1; Подстановкой убеждаемся, что х = - 1 – корень уравнения. Для нахождения остальных корней воспользуемся теоремой Безу: х 4 +х 3 +х 2 +3х+2 l х+1 х 4 +х 3 +х 2 +3х+2=(х+1)(х 3 +х+2) х 4 +х 3 х 3 +х+2 Легко проверить, что многочлен х 3 +х+2 имеет корнем х 2 +3х число -1: х 3 +0х 2 +х+2 l х+1 х 2 + х х 3 +х 2 х 2 -х+2 2х+2 -х 2 +х 2х+2 -х 2 -х 0 2х+2 2х+2 0 Уравнение х 2 -х+2=0 действительно корней не имеет. Ответ: х = 1

13 Уравнения высших степеней Итальянский математик Сциплон Даль Ферро ( ). Итальянский учитель математики Никколо ( ) по прозвищу Тарталья(т.е. заика). Врач, философ, математик и механик ДДДД жжжж ееее рррр оооо лллл аааа мммм оооо К К К К аааа рррр дддд аааа нннн оооо ( ( ( ( ))))....Именно они сделали первые шаги в решении разных видов кубических уравнений.

14 Примите к сведению Джероламо Кардано написал большую книгу, посвященную алгебре. Главное украшение книги - «формула Кардано» для уравнения х 3 +рх+q=0 х= 3 -q/2+ (q 3 /2)+(p/3) q/2- (q/2) 2 +(p/3) 3