Координатный метод Геометрия Подготовила Глазкрицкая Светлана Геннадьевна. - презентация

1 Координатный метод Геометрия Подготовила Глазкрицкая Светлана Геннадьевна

2 Содержание Координаты точки Расстояние между точками Уравнение окружности Координаты середины отрезка Уравнение прямой Заключение

3 Координаты точки Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат, если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат, а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат. Одна из осей координат называется осью абсцисс, а другая – осью ординат. Ось абсцисс обозначается Ox, а ось ординат – Oy. x y O 1 1 Прямоугольная система координат: O – начало; Ox – ось абсцисс; Oy – ось ординат; Ox Oy на осях выбран масштаб (единичный отрезок)

4 Для каждой из осей определены два противоположных луча с началом в точке O. Луч, направление которого совпадает с направлением координатной оси, называется положительной полуосью, а другой – отрицательной полуосью. x y O Положительные полуоси Отрицательные полуоси 1 1

5 Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует упорядоченная пара чисел x, y. Эта пара чисел называется координатами точки M. Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой. x y O 1 1 M (x; y) X Y абсцисса ордината

6 Пусть M 1 и M 2 – точки пересечения осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им через точку M соответственно. Тогда координаты x, y точки M определяются следующим образом: x = OM 1, если точка M 1 принадлежит положительной полуоси; x = 0, если M 1 совпадает с точкой O; x = – OM 1, если точка M 1 принадлежит отрицательной полуоси; y = OM 2, если M 2 принадлежит положительной полуоси; y = 0, если M 2 совпадает с точкой О; y = – OM, если точка M 2 принадлежит отрицательной полуоси. x y O 1 1 M M1M1 M2M2

7 Координаты точки M записываются в скобках после обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса, на втором записывается ордината). Если точка M лежит на оси Ox, то она имеет координаты (x; 0), если M лежит на оси Oy, то ее координаты – (0; y). x y O M (x; 0) M (0; y) x y O

8 Рассмотрим примеры. Пусть ABCD – квадрат, длина стороны которого равна двум единицам длины, а прямоугольная система координат выбрана так, как показано на рисунке 1. Тогда в выбранной системе вершины квадрата имеют координаты: A (0; ); B ( ; 0); C (0; – ); D (– ; 0). Если система координат выбрана так, как показано на рисунке 2, то координаты вершин данного квадрата в этой системе имеют координаты: A (1; 1); B (1; –1); C (–1; –1); D (–1; 1). x y O A B C D 1 1 x y O A (1; 1) B (1; -1) C (-1; -1) D (-1; 1) Рис. 1 Рис. 2

9 Рассмотрим вопрос о нахождении расстояния между точками, если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ). Тогда расстояние d (A, B) = AB между точками A и B можно найти по формуле x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Расстояние между точками

10 Докажем формулу для случая, когда и, т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l 1 и l 2, которые проходят через точки A, B соответственно и параллельны осям Oy, Ox. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Длины сторон AC и BC равны: AC =, BC =. Тогда по теореме Пифагора или x y O l1l1 l2l2 A B C

11 Заметим, что формула верна и для случаев: а) х 1 = х 2, y 1 y 2 (отрезок параллелен оси Oy, рисунок 1); б) х 1 х 2, у 1 = у 2 (отрезок параллелен оси Ox, рисунок 2); в) х 1 = х 2, у 1 = у 2 (точки A и B совпадают). В случае а) d (A, B) = AB =. В случае б) d (A, B) = AB =. Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0. x y Ox y1y1 y2y2 A (x; y 1 ) B (x; y 2 ) x y O A (x 1 ; y)B (x 2 ; y) x1x1 x2x2 Рис. 1 Рис. 2

12 Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD, две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и B (5; 5). Площадь квадрата равна квадрату длины стороны. Следовательно, S ABCD = AB². Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками Таким образом, площадь квадрата S ABCD = AB = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед.

13 Уравнение окружности Рассмотрим вопрос об уравнении окружности. Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры, если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре. Составим уравнение окружности с центром в точке O (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R. Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = R 2. x y O C x0x0 y0y0 M (x; y)

14 Пусть точка M 1 (x 1 ; y 1 ) не принадлежит окружности, тогда СM 1 R, а значит, (x – x 1 ) 2 + (у – у 1 ) 2 R 2, т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению (x – x 0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2. Таким образом, уравнение (x – x 0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2 есть уравнение окружности с центром в точке С (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид x 2 + y 2 = R 2. x y O R

15 Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. x y O AB M 1) Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = ) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем: 3) По условию задачи (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. После упрощения получаем x 2 + y 2 = 16. Если точка M (x; y) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM 2 + BM 2 104, а значит, координаты точки M (x; y) не удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x 2 + y 2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

16 Координаты середины отрезка Рассмотрим вопрос о вычислении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка. Пусть A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) – произвольные точки плоскости, а точка C (x 0 ; y 0 ) – середина отрезка AB. Найдем координаты х 0 и y 0. Найдем координату x 0. 1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy, т. е. x 1 x 2. Проведем через точки A, B и C прямые, параллельные оси Oy, которые пересекают ось Ox в точках A 1 (x 1 ; 0), B 1 (x 2 ; 0) и C 0 (x 0 ; 0) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C 0 (x 0 ; 0) – середина отрезка A 1 B 1, т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 |. Отсюда следует, что либо x 0 – x 1 = x 0 – x 2, либо x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ). Так как x 1 x 2, то первое равенство невозможно, а значит, верно второе равенство, из которого получаем, что x y O A B C A1A1 B1B1 C0C0

17 2) Пусть отрезок AB параллелен оси Oy, т. е. x 1 = x 2. В этом случае все точки A 1, B 1, C 0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула верна и в этом случае (рис. 1). Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2), а соответствующая формула имеет вид x y O A B C x y O A B C Рис. 1 Рис. 2

18 x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) C (x 0 ; y 0 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Середина C отрезка AB, где A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ): x0x0 y0y0

19 Задача. Концами отрезка служат точки A (–8; –5), B (10; 4). Найдите координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части. Решение. Пусть точки C и D имеют координаты (x C ; y C ) и (x D ; y D ). 1) Найдем абсциссы точек C и D. Так как точка C – середина отрезка AD, то выполняется равенство так как точка D – середина отрезка CB, то Решив систему 2x C = x D – 8, 2x D = 10 + x C, находим x C = –2, x D = 4.

20 2) Найдем ординаты точек С и D. Для нахождения ординат точек С и D воспользуемся равенствами Решив систему 2y C = y D – 5, 2y D = y C + 4, находим y C = –2, y D = 1. Ответ: C (–2; –2), D (4; 1).

21 Уравнение прямой Выведем уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты которых известны. Пусть на плоскости дана прямая l и выбрана прямоугольная система координат. Рассмотрим две различные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) такие, что прямая l является серединным перпендикуляром для отрезка AB. 1) Если точка M (x; y) лежит на прямой l, то AM = BM. Следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 = (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2, которое после преобразования принимает вид ax + by + c = 0, где a = 2(x 1 – x 2 ), b = 2(y 1 – y 2 ), c = x y 2 2 – x 1 2 – y 1 2. Заметим, что хотя бы один из коэффициентов a, b уравнения ax + by + c = 0 не равен нулю, т. к. точки A и B различные, а значит, хотя бы одна из разностей x 1 – x 2, y 1 – y 2 не равна нулю. Таким образом, если точка M лежит на прямой l, то ее координаты удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0, где коэффициенты a и b одновременно не равны нулю. x y O l A B M

22 2) Если точка M (x; y) не лежит на прямой l, то AM BM и AM 2 BM 2, а следовательно, координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0. Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени ax + by + c = 0, где a и b одновременно не равны нулю. x y O A B M l Если a = 0, то y = c 1 – прямая || Ox. Если b = 0, то y = c 2 – прямая || Oy. Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

23 Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ACB с прямым углом при вершине C. Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM 2 + BM 2 = 2CM 2. Решение. Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной C, а вершины A и B расположены на осях Ox и Oy, как показано на рисунке. Если катет данного треугольника равен a, тогда (0; 0), (a; 0), (0; a) – координаты точек C, A и B в выбранной системе координат соответственно. Пусть (x; y) – координаты точки M, принадлежащей искомому множеству точек. x y C A B

24 Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, если известны их координаты: По условию задачи AM 2 + BM 2 = 2CM 2, следовательно, (x – a) 2 + y 2 + x 2 + (y – a) 2 = 2(x 2 + y 2 ). Отсюда получаем уравнение x + y – a = 0. Если точка M (x; y) не принадлежит искомому множеству точек, то AM 2 + BM 2 2CM 2, а значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению x + y – a = 0. Таким образом, x + y – a = 0 есть уравнение искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой лежит гипотенуза AB данного треугольника.

25 Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать еe, используя знания по алгебре.