МЕХАНИКА Лекционный курс - 34 час Лабораторные занятия – 17 час Самостоятельная работа : - Выполнение и защита РГЗ Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Раздел. - презентация

1 МЕХАНИКА Лекционный курс - 34 час Лабораторные занятия – 17 час Самостоятельная работа : - Выполнение и защита РГЗ Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Раздел 7. Простейшие виды деформаций Раздел 8. Сложное сопротивление Раздел 10. Устойчивость Раздел 6. Основные понятия Раздел 9. Прочность при переменных и динамических напряжениях

2 МЕХАНИКА Сопротивление материалов Модуль 2 МЕХАНИКА Сопротивление материалов Модуль 2 Раздел 6. - Основные понятия сопротивления материалов ЛЕКЦИЯ 1 ЛЕКЦИЯ 2 Общие сведения

3 ЛЕКЦИЯ 1 План: 1.1 МЕХАНИКА 1.1 Основные определения 1.2 Допущения (гипотезы) в сопротивлении материалов 1.3 Внешние силы 1.4 Внутренние силы. Метод сечений. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Модуль 2 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Основные понятия и определения

4 1.2 Прочность Прочность – это способность элемента конструкции сопротивляться разрушению под нагрузкой. Жесткость Жесткость – это способность элемента конструкции сопротивляться деформациям. Устойчивость Устойчивость – это способность элемента конструкции сопротивляться воздействию больших отклонений от равновесия при малых изменениях нагрузки. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Сопротивление материалов Сопротивление материалов - наука о методах расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений

5 а б в г д е брусоболочкапластинамассив а, б, в – брус; г – оболочка; д – пластина; е – массив 1.3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Основные виды элементов конструкций Основные виды элементов конструкций:

6 РЕАЛЬНАЯ КОНСТРУКЦИЯ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.4 освобождение от несущественных несущественныхособенностей

7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.5 Гипотезы (допущения) сопротивления материалов сплошности сплошности однородности однородности изотропности изотропности независимости действия сил независимости действия сил малости деформаций малости деформаций внутренних усилий внутренних усилий

8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.6 ВНЕШНИЕ СИЛЫ (нагрузки) активные и реактивные активные и реактивные сосредоточенные и распределенные (линейно, поверхностно, объемно распределенные) сосредоточенные и распределенные (линейно, поверхностно, объемно распределенные) статические и динамические статические и динамические

9 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.7 Метод сечений: - это силы сопротивления изменению формы и размеров тела под действием нагрузки Внутренние силы Внутренние силы (усилия)

10 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.8 Внутренние силовые факторы (ВСФ) ________________________________________________________ ВСФВид деформации ВСФ Вид деформации N продольная сила N - «растяжение» или «сжатие» Q поперечная сила Q - «чистый сдвиг». Т крутящий момент Т - «кручение» М изгибающий момент М - «чистый изгиб» комбинированные виды нагружения - «сложное сопротивление». ________________________________________________________ Эпюры ВСФ Эпюры ВСФ - графики изменения внутренних силовых факторов вдоль оси бруса

11 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.9 Внутренние силы. Метод сечений План построения эпюры ВСФ 1. Вычерчивают схему нагружения стержня. 2. Определяют реакции связей 3. Выявляют «характерные участки» стержня 4. Применяя метод сечений на каждом характерном участке, составляют уравнения ВСФ по длине участка 5. Строят графики зависимостей ВСФ

12 ЛЕКЦИЯ 2 План 2.1 МЕХАНИКА Модуль 2 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 2.1. Напряжения Перемещения и деформации Закон Гука Условия прочности и жесткости в общем виде ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Основные понятия и определения

13 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Напряжения - мера интенсивности внутренних сил (усилия, приходящиеся на единицу площади сечения) 2.2

14 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Касательное напряжение, лежащее в плоскости сечения: 2.3 Нормальное напряжение, направленное по нормали к плоскости сечения

15 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 2.4 Связь напряжений и ВСФ где x и y – координаты точки в поперечном сечении __________________________________________ Паскаль (1 Па = 1 Н/м 2 ). Мегапаскаль (1 МПа = 106 Па = 106 Н/м 2 =1 Н/мм 2.

16 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 2.5 Линейные перемещения сечений Угловые перемещения (поворот) линий и плоскостей Деформации - характеристики интенсивности изменения линейных и угловых перемещений введено понятие Деформации и перемещения

17 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 2.6 l - абсолютная линейная деформация - относительная линейная деформация = l / l γ - угловая деформация (угол сдвига) γ = + ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ

18 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 2.7 Остаточные (пластические) деформации не исчезают после снятия нагрузки Упругие деформации исчезают после разгрузки ХАРАКТЕР ДЕФОРМАЦИИ Закон Гука Закон Гука: Е - модуль Юнга (модуль продольной упругости) G - модуль сдвига

19 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 2.8 Условия прочности Условия жесткости

20 МЕХАНИКА Сопротивление материалов Модуль 2 МЕХАНИКА Сопротивление материалов Модуль 2 Раздел 7 - Простейшие виды деформации Механические испытания конструкционных материалов Геометрические характеристики плоских сечений Чистый сдвиг. Кручение Изгиб Растяжение и сжатие ЛЕКЦИЯ 7ЛЕКЦИЯ 8ЛЕКЦИЯ 9 ЛЕКЦИЯ 6 ЛЕКЦИЯ 5 ЛЕКЦИЯ 4 ЛЕКЦИЯ 3

21 ЛЕКЦИЯ 3 План: 3.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Растяжение и сжатие 3.1. Внутренние усилия при растяжении-сжатии 3.2. Напряжения при растяжении-сжатии 3.3. Деформации при растяжении-сжатии 3.4. Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ

22 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 3.2 Правило знаков продольных сил N продольных сил N :

23 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 3.3 Напряжения при растяжении-сжатии

24 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 3.4 Деформации при растяжении-сжатии абсолютное удлинение относительное удлинение абсолютная поперечная деформация относительная поперечная деформация коэффициент Пуассона:

25 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 3.5 Модуль продольной упругости Е для различных материалов Материал Е, МПа Сталь2 · 10 5 Медь Дерево Алюминий0, Чугун1, Мрамор0,56 -· 10 5 Коэффициент Пуассона μ для различных материалов Материалμ Сталь0,25 - 0,33 Медь0,31 - 0,34 Бронза0,32 – 0,35 Алюминий0,32 - 0,36 Чугун0,23 - 0,27 Камень0,16 - 0,34 Бетон0,08 - 0,18 Фанера0,07 Пробка 0

26 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Деформации при растяжении-сжатии 3.6 закон Гука: = Е ·, где: абсолютное удлинение стержня ( Е·А ) - жесткость сечения стержня

27 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 3.7 Условие прочности стержня max = N max /A [ ]. Условие жесткости стержня l [ l],

28 ЛЕКЦИЯ 4 План: 4.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 4.1. Диаграммы растяжения 4.2. Пластическое и хрупкое разрушение материала 4.3. Испытание на сжатие 4.4. Испытание на твердость 4.5. Ползучесть, релаксация и длительная прочность материала 4.6. Допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ Механические испытания конструкционных материалов

29 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.2 Образец для испытаний на растяжение ИСПЫТАНИЕ НА РАСТЯЖЕНИЕ До испытаний После испытаний

30 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.3 Диаграмма растяжения пластичных материалов σ пц σ пц – предел пропорциональности Е Е - модуль продольной упругости ( модуль Юнга ) т т - предел текучести в в - предел прочности (временное сопротивление) у у - предел упругости δ δ - относительное удлинение при разрыве

31 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.4 Диаграмма растяжения без площадки текучести без площадки текучести 0,2 0,2 - условный предел текучести НАКЛЕП НАКЛЕП - явление повышения предела пропорциональности и снижения пластичности материала при повторных нагружениях

32 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.5 Разрушение материала пластическое δ > 10% хрупкое δ = 1 - 5%

33 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.6 Испытания на сжатие пластичный материалхрупкий материал Образец – цилиндр h < 3d

34 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Испытание на твердость 4.7 Твердость Твердость - способность материала оказывать сопротивление механическому внедрению в него другого более твердого тела (индентора). МетодОбозначениеИнденторИзмерение Твердость Бринеллю по БринеллюНВ Стальной закаленный шарик Диаметр отпечатка Твердость Роквеллу по Роквеллу HRА, HRВ, HRC HRC Алмазный конус Глубина внедрения Твердость Виккерсу по ВиккерсуHV Алмазная пирамида Диагональ отпечатка

35 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.8 ПОЛЗУЧЕСТЬ МАТЕРИАЛА - ПОЛЗУЧЕСТЬ МАТЕРИАЛА - изменение деформаций и напряжений, возникающих в нагруженной конструкции с течением времени в условиях не изменяющейся нагрузки Последействие Последействие - рост пластических деформаций материала при постоянном напряжении. Предел длительной прочности - Релаксация напряжений Релаксация напряжений - процесс уменьшения напряжений при постоянной величине деформации материала.

36 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 4.9 Допускаемые напряжения. [ ]= np / n пр пр - предельные напряжения n n – коэффициент запаса прочности Для хрупких материалов : ( пр = в ), Для пластичных материалов : ( пр = т ) для пластичных материалов n = 2...4, для хрупких материалов n =

37 ЛЕКЦИЯ 5 План: 5.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 5.1. Статический момент сечения 5.2. Моменты инерции 5.3. Моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей 5.4. Главные оси и главные моменты инерции ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ Геометрические характеристики плоских сечений

38 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.2 площади Влияние площади поперечного сечения, формы расположения формы сечения и расположения сечения относительно приложенных нагрузок «геометрическими характеристиками плоских сечений» на прочность и жесткость конструкции определяется «геометрическими характеристиками плоских сечений» 2А А А А

39 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.3 Статический момент сечения = y c · A, S x c = 0, S y c = 0 Центральные оси - Центральные оси - оси, проходящие через центр тяжести сечения усус хсхс с = x c · A,

40 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.4 Моменты инерции сечения Полярный момент инерции Центробежный момент инерции м 4 Единица измерения моментов инерции сечения – м 4 Осевой момент инерции

41 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.5 Моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей I x = I x с + a 2 A, I y = I y с + b 2 A,

42 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.6 Моменты инерции при повороте осей І u = I x cos2α + I y sin2α - I xy sin2α, I ν = I x sin2α + I y cos2α + I xy sin2α, I uν = sin 2α + I xy cos 2α. І u + I ν = I x + I y.

43 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.7 Главные оси и главные моменты инерции Главные центральныеоси Главные центральные оси - это главные оси проходящие через центр тяжести сечения Главные оси uv Главные оси сечения - это оси u и v, относительно которых центробежный момент инерции І uν = 0, а осевые моменты инерции І u и I ν имеют экстремальные значения max или min. Главные моменты инерции

44 ЛЕКЦИЯ 6 План: 6.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 6.1. Чистый сдвиг 6.2. Кручение. Эпюры крутящих моментов 6.3. Напряжения при кручении 6.4. Деформации при кручении 6.5. Расчёт вала на прочность и на жёсткость ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ Чистый сдвиг. Кручение

45 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ 6.2 ЧИСТЫЙ СДВИГ - ЧИСТЫЙ СДВИГ - напряженное состояние, при котором на гранях элемента конструкции возникают только касательные напряжения где - угол сдвига; = G·, G - модуль сдвига, для стали G = 8 ·10 4 МПа G = E / [2(1 + )] Для изотропных материалов :

46 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ 6.3 КРУЧЕНИЕ. Правило знаков крутящих моментов: М М М М Построение эпюр крутящих моментов

47 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ 6.4 Напряжения при кручении dQ ·ρ = · ρ dA dQ = dA

48 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ 6.5 Напряжения при кручении - относительный угол закручивания, по закону Гука: = G·

49 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ 6.6 Напряжения при кручении Для круглого сечения W = π d 3 /16 0,2 d 3 Для сечения в виде кольца W = 0,2 D 3 (1- с 4 ) d d D

50 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ Деформации при кручении 6.7 GI - жесткость сечения вала при кручении

51 ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ 6.8 Расчёт вала на прочность и жёсткость Условие прочности вала Условие жесткости вала

52 ЛЕКЦИЯ 7 План: 7.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 7.1. Общие сведения 7.2. Внутренние силовые факторы при изгибе балки 7.3. Дифференциальные зависимости Журавского 7.4. Внутренние силовые факторы в сечениях рам ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ Изгиб

53 ИЗГИБ 7.2 Вид деформации, при котором продольная ось бруса искривляется Чистый Поперечный Плоский Пространственный Прямой Косой рама балка силовая линия силовая плоскость - ИЗГИБ

54 ИЗГИБ 7.3 Внутренние силовые факторы Q : Правило знаков для поперечных сил Q : М : Правило знаков для изгибающих моментов М :

55 ИЗГИБ 7.4 Дифференциальные зависимости Журавского а б в г Общие закономерности эпюр Q и М

56 ИЗГИБ 7.5 ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ В СЕЧЕНИЯХ РАМ В сечениях стержней рамы кроме изгибающих моментов M и поперечных сил Q, обычно действуют еще и продольные силы N. Границами характерных участков для рамы являются также места изменения направления оси рамы. При определении знаков внутренних силовых факторов наблюдателю удобно располагать взгляд как бы изнутри контура рамы. При построении этих эпюр положительные ординаты M, Q и N откладывают с внешней стороны, а отрицательные – внутрь контура рамы. -

57 ЛЕКЦИЯ 8 План: 8.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 8.1. Напряжения при чистом изгибе 8.2. Напряжения при плоском поперечном изгибе ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ Изгиб

58 ИЗГИБ 8.2 Чистый изгиб Нейтральный слой Нейтральный слой - продольный слой волокон, который, искривляясь, не испытывает ни растяжения, ни сжатия Упругая линия Упругая линия - деформированная ось балки, которая, будучи частью нейтрального слоя, длину не меняет. Нейтральная линиянейтральная ось Нейтральная линия (нейтральная ось) - линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения

59 ИЗГИБ 8.3 Напряжения при чистом изгибе dz = ρ d. ε = y/ρ. σ =E·y /ρ.

60 ИЗГИБ 8.4 а так както Напряжения при чистом изгибе Уравнения равновесия: Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения Из первого уравнения равновесия:

61 ИЗГИБ 8.5 Третье из уравнений равновесия Так как то Уравнения равновесия: Напряжения при чистом изгибе Нейтральная линия совпадает с главной центральной осью поперечного сечения балки.

62 ИЗГИБ 8.6 Уравнения равновесия : Напряжения при чистом изгибе Второе из уравнений равновесия: Так как тогда - уравнение упругой линии E·I x жесткость сечения балки ( E·I x ) - жесткость сечения балки так к ак σ =E·y /ρ, Напряжения Напряжения в любой точке сечения:

63 ИЗГИБ 8.7 Напряжения при чистом изгибе осевой момент сопротивления сечения - осевой момент сопротивления сечения при изгибе где: W x = Максимальное напряжение возникают в верхних и нижних волокнах балки:

64 ИЗГИБ 8.8 Напряжения при плоском поперечном изгибе Формулы нормальных напряжений нормальных напряжений для чистого изгиба применимы применимы и для поперечного изгиба из-за малости сдвиговых деформаций: Касательные напряжения Возникновение касательных τ напряжений τ γ сопровождается появлением сдвиговых деформаций γ Нормальные напряжения

65 ЛЕКЦИЯ 9 План: 9.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 9.1. Условие прочности при изгибе 9.2. Перемещения при изгибе ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ Изгиб

66 ИЗГИБ 9.2 УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ σ >> τ. Проверочный расчет: Проверочный расчет: значение σ max, сравнивают с [σ] и делают вывод о прочности балки. Расчётдопускаемой нагрузки: Расчёт допускаемой нагрузки: при известных [σ] и W x Проектный расчёт: при известных значениях М и допускаемого напряжения [σ]: b h d Wx= bh 2 /6 Wx = πd 3 /32 0,1d 3 Момент сопротивления сечения

67 ИЗГИБ 9.3 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ Прогиб балки у Прогиб балки у - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси. у>0 у>0 если перемещение происходит вверх. Угол поворота сечения Угол поворота сечения - угол, на который поворачивается сечение по отношению к своему первоначальному положению. >0 >0 при повороте против хода часовой стрелки.

68 ИЗГИБ 9.4 Прогибы у и углы поворота связаны между собой: ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ дифференциальное уравнение упругой линии Так как, то приближенное дифференциальное уравнение упругой линии

69 ИЗГИБ 9.5 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ С = ЕI x 0 D = ЕI x y 0 Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии: Интегрируя его получим для углов поворота для углов поворота: для прогибов:

70 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В общем виде УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.6 Начальные параметры Начальные параметры находят из условий закрепления балки. y 0 = 0, 0 = 0 для консольной балки в заделке : y 0 = 0, 0 = 0, y A = 0, y B = 0. для балки на шарнирных опорах в опорных точках: y A = 0, y B = 0. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ для прогибов: для углов поворота: для углов поворота : ИЗГИБ

71 9.7 Метод Мора: ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ В точке с искомым перемещением конструкцию нагружают единичной силой, которая совершает работу на возможном (искомом) перемещении.. Порядок определения перемещений Порядок определения перемещений : 1.Строят «вспомогательную систему» и нагружают ее единичной нагрузкой в точке с искомым перемещением. 2. Для каждого участка системы записывают выражения изгибающих моментов от приложенной нагрузки М f и от единичной нагрузки - М По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение :

72 ИЗГИБ 9.8 Правило Верещагина Правило Верещагина (графоаналитический способ) ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Сложная эпюра М f разбивается на простые фигуры. Площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести

73 МЕХАНИКА Сопротивление материалов МЕХАНИКА Сопротивление материалов Раздел - 8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Сложное сопротивление бруса ЛЕКЦИЯ 12ЛЕКЦИЯ 11 Напряжено-деформированное состояние в точке ЛЕКЦИЯ 10

74 ЛЕКЦИЯ 10 План: 10.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Напряженное состояние в точке Обобщенный закон Гука Теории прочности СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Теория напряженно-деформированного состояния

75 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 10.2 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ - это совокупность напряжений на множестве площадок, которые можно провести через какую-либо точку тела Закон парности касательных напряжений касательных напряжений : τ xy = τ yx, τ xz = τ zx, τ zy = τ yz. Главные площадки Главные напряжения 1, 2, 3, - Главные напряжения (с учетом знаков)

76 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 10.3 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ Линейное напряженное состояние напряженное состояние : 1 0, 2 = 0, 3 = 0, 1 0, 2 = 0, 3 = 0, max = 1 max = 1 /2 при = 45 - одноосное (линейное); - двухосное (плоское); - трехосное (объемное).Различают напряженные состояния напряженные состояния :

77 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 10.4 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ Плоское напряженное состояние: 1 0, 2 0, 3 = 0, 1 0, 2 0, 3 = 0, 1 = x ; 2 = y ; 3 = 0 Положение главных площадок определяют по углу поворота осей ψ 0 :

78 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 10.5 Объемное напряженное состояние: 1 0, 2 0, , 2 0, 3 0 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ τ max Максимальное касательное напряжение τ max действует по площадке, наклоненной под углом 45° к 1 и 3 и параллельной 2

79 10.6 обобщенный закон Гука СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Направле -ние деформа- ции Относительные деформации ε и ε ' от действия нормальных напряжений σxσx σyσy σzσz x y z Сложив все деформации одного направления, получают относительное изменение объема при деформации ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА

80 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 10.7 ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ Предельное напряженное состояние Предельное напряженное состояние тела характеризуется началом текучести материала, значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале его разрушения. Эквивалентным напряжением Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоя где [ p ] - допускаемое напряжение при простом растяжении

81 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 10.8 ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ 1.Теория наибольших нормальных напряжений (первая гипотеза прочности) 2. Теория наибольших относительных удлинений (вторая гипотеза прочности) 3. Теория наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности) 4. Теория энергии формоизменения (энергетическая теория) 5. Теория прочности Мора (пятая гипотеза прочности)

82 ЛЕКЦИЯ 11 План: 11.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Понятие сложного сопротивления Косой изгиб СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Сложное сопротивление бруса

83 Сложное сопротивление 11.2 Сложное сопротивление Сложное сопротивление - вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов. Случаи сложного сопротивления: - одноосное - одноосное напряженное состояние, или приближенное к нему (косой изгиб, внецентренное растяжение и сжатие, изгиб с растяжением ); -плоское -плоское напряженное состояние (изгиб с кручением, растяжение или сжатие с кручением, растяжение или сжатие с изгибом).

84 ИЗГИБ 11.3 КОСОЙ ИЗГИБ F x = Fsin φ; F y = Fcos φ. М x =F y ·z=(Fcos φ)z; M y =F x ·z=(Fsin φ)z. Разложим силу F на две составляющие: Изгибающие моменты в поперечном сечении бруса: Косой изгиб имеет место, когда плоскость действия нагрузки не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса плоскостей инерции бруса. Влиянием поперечных сил Q на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают

85 ИЗГИБ 11.4 для точки О, лежащей на нейтральной линии: Напряжения в произвольной точке Д: КОСОЙ ИЗГИБ Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения

86 ИЗГИБ 11.5 Условие прочности Условие прочности : КОСОЙ ИЗГИБ Прогибы Прогибы определяют геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей: Для сечений, имеющих две оси симметрии:

87 ЛЕКЦИЯ 12 План: 12.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Изгиб с растяжением (сжатием) Внецентренное растяжение или сжатие Кручение с изгибом СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Сложное сопротивление бруса

88 12.2 Сложное сопротивление ИЗГИБ С РАСТЯЖЕНИЕМ (СЖАТИЕМ) Напряжение Напряжение в произвольно выбранной точке Д : Условие прочности Условие прочности для сечений с двумя осями симметрии : Внутренние усилия Внутренние усилия : N= F z, Q x = F x, М х = F y z, Q y = F y, M y = F x z

89 Сложное сопротивление 12.3 ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) N = F; М х = F ·y F ; М у = F ·x F, Внутренние усилия Внутренние усилия : Нормальное напряжение в произвольной точке Д: Условие прочности Условие прочности:

90 Сложное сопротивление 12.4 КРУЧЕНИЕ С ИЗГИБОМ По третьей гипотезе прочности По третьей гипотезе прочности: или где Эпюры напряжений в поперечном сечении вала:

91 Сложное сопротивление 11.5 КРУЧЕНИЕ С ИЗГИБОМ По четвертой гипотезе прочности:, или где

92 МЕХАНИКА Сопротивление материалов МЕХАНИКА Сопротивление материалов Раздел – 9. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ ЛЕКЦИЯ 14ЛЕКЦИЯ 13 Прочность при ударе Прочность при переменных напряжениях ЛЕКЦИЯ 15

93 ЛЕКЦИЯ 13 План: 13.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Явление усталости Кривая усталости при симметричном цикле ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ Расчеты на прочность при переменных напряжениях

94 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 13.2УСТАЛОСТЬ - процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящий к изменению его свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению. Усталостное разрушение σ В σ пц Усталостное разрушение – разрушение, происходящее при напряжениях, значительно меньших предела прочности σ В, а иногда даже и предела пропорциональности σ пц. Вид усталостного излома Зона А - область распространения трещины Зона Б - зона разрыва

95 13.3 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ УСТАЛОСТЬ Неустановившийся режим Неустановившийся режим (закон изменения напряжений во времени может быть любым) Установившийся режим Установившийся режим (изменение напряжений во времени носит циклически повторяющийся характер) Цикл напряжений Цикл напряжений - совокупность последовательных значений напряжений за один период нагружения при установившемся режиме

96 13.4 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Характеристики цикла напряжений: УСТАЛОСТЬ max - максимальное (наибольшее по модулю) напряжение; min - минимальное (наименьшее по модулю) напряжение; - среднее напряжение - амплитудное напряжение - коэффициент асимметрии цикла

97 13.5 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ассимметричныйпульсационный УСТАЛОСТЬ циклы нагружения симметричный m = 0, а = max = min ; r = -1. m 0, max σ min ;. σ min =0; m = а = max /2; r = 0. наиболее опасный

98 Кривая усталости при симметричном цикле ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ УСТАЛОСТЬ база испытаний Пределвыносливости для сталей: -1 (0,4...0,5) В -1 (0,4...0,5) В, для цветных металлов: -1 (0,25...0,5) В -1 (0,25...0,5) В 13.6

99 ЛЕКЦИЯ 14 План: 14.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 14.1 Факторы, влияющие на предел выносливости Расчеты конструкций на усталость Расчеты на прочность при переменных напряжениях ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ

100 14.2 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ концентрация напряжений, концентрация напряжений, масштабный фактор, масштабный фактор, состояние поверхности, состояние поверхности, внешняя среда внешняя среда

101 14.3 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Концентраторы напряжений Концентраторы напряжений - надрезы, отверстия, выточки, резкие изменения размеров и др. ослабления в детали К σ, К σ, - эффективный коэффициент концентрации напряжений Концентрация напряжений ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ

102 14.4 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Масштабный фактор ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ статистический фактор статистический фактор (высокая вероятность появления дефектных зон - раковин, неметаллических включений, микротрещин); технологический фактор технологический фактор (способ обработки детали в процессе ее изготовления); производственный фактор производственный фактор (ухудшение качества материала с увеличением объема детали). - масштабный коэффициент Предел выносливости материала в гладком образце диаметром d Предел выносливости того же материала в стандартном образце диаметром d o = мм

103 14.5 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Состояние поверхности детали ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ = 1 - коэффициент состояния поверхности (для шлифованной неупрочненной поверхности = 1 ) Внешняя среда Коррозия металлов Коррозия металлов (в поверхностных слоях возникают трещины коррозионной усталости) Способ повышенияσ -1 Способ повышения σ -1 - защита от коррозии (антикоррозионные покрытия, окраска). Способ повышения σ -1 Способ повышения σ -1 - поверхностное упрочнение детали (наклеп, ХТО, закалка ТВЧ и др.),

104 14.6 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ НА УСТАЛОСТЬ Условие усталостной прочности Условие усталостной прочности : n n - коэффициент запаса усталостной прочности, [n] [n] = 1,5 – 4.

105 ЛЕКЦИЯ 15 План: 15.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 15.1 Ударная нагрузка Динамический коэффициент Расчеты на прочность при динамическом нагружении Прочность при ударе ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ

106 ПРОЧНОСТЬ ПРИ УДАРЕ 15.2 Ударная нагрузка Ударная нагрузка - всякая быстроменяющаяся нагрузка. Ударная нагрузка Гипотезы теории удара Гипотезы теории удара: Удар считают неупругим; Ударяемое тело имеет одну степень свободы и вся масса тела сосредоточена в точке удара; Ударяемая конструкция считается идеально упругой; Вся кинетическая энергия ударяющего тела преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации ударяемой конструкции. Потенциальная энергия статической упругой деформации растянутого стержня :

107 15.3 ПРОЧНОСТЬ ПРИ УДАРЕ Динамический коэффициент - динамический прогиб системы - прогиб системы при статическом нагружении. Работа падающего груза: динамический коэффициент - динамический коэффициент

108 2.Высота падения значительно больше статической 2. Высота падения значительно больше статической деформации деформации При h >> 15.4 ПРОЧНОСТЬ ПРИ УДАРЕ Расчеты на прочность при динамическом нагружении Частные случаи удара: 1. Внезапное динамическое приложение нагрузки При h = 0 тогда

109 МЕХАНИКА Сопротивление материалов МЕХАНИКА Сопротивление материалов Раздел –10. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛЕКЦИЯ 17 ЛЕКЦИЯ 16 Устойчивость сжатых стержней

110 ЛЕКЦИЯ 16 План: 16.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия Формула Эйлера для критической силы УСТОЙЧИВОСТЬ Устойчивость сжатых стержней

111 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 16.2 Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия Устойчивое равновесие Устойчивое равновесие - система возвращается в первоначальное положение. Неустойчивое равновесие Неустойчивое равновесие - система не возвращается в исходное положение, а отклоняется от него еще больше. Безразличное равновесие Безразличное равновесие - новое положение системы после отклонения от исходного остается равновесным и после удаления внешнего воздействия. При отклонении системы от положения равновесия после устранения причин, вызывающих это отклонение, различают три формы равновесия системы:

112 16.3 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Продольный изгиб - Продольный изгиб - явление изгиба стержня продольной силой Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия (ось стержня прямолинейная) Устойчивое равновесие F > F k, Устойчивое равновесие при F > F k, Неустойчивое равновесие F < F k, Неустойчивое равновесие при F < F k, (ось стержня искривляется) F k - F k - критическая сила

113 16.4 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ допускаемую нагрузку Для обеспечения устойчивости определяют допускаемую нагрузку на сжатый стержень. коэффициент запаса устойчивости n у - коэффициент запаса устойчивости для стали п у = 2 … 4, Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия F k - критическая сила

114 16.5 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Формула Эйлера для критической силы ЕI min у"= ± М. EI min y" = -F k y. Пусть F k / (EI min ) = α 2, у" + α 2 у = 0, у = Asin αx + Bcos αx М = -F k y ; В = 0, т.к. при х = 0 прогиб у = 0. y = A sin αx. при х = l прогиб у = 0 Поэтому у = A sin αl = 0 sin αl = 0, или αl = πn при n = 1 получаем

115 16.5 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Формула Эйлера для критической силы – приведенная длина стержня (μl) – приведенная длина стержня коэффициент μ – коэффициент приведения длины приведения длины стержня стержня

116 ЛЕКЦИЯ 17 План: 17.1 МЕХАНИКА Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Пределы применимости формулы Эйлера Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения допускаемого напряжения УСТОЙЧИВОСТЬ Устойчивость сжатых стержней

117 _________________________________________________________________ ЛЕКЦИЯ 8 _________________________________________________________________ План Пределы применимости формулы Эйлера Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения допускаемого напряжения 17.1 УСТОЙЧИВОСТЬ УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

118 17.2 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА I min /A, = i 2 min, тогда гибкость стержня - гибкость стержня или λ λ 0 для стали - λ 100 для чугуна - λ 80, для алюминиевого сплава - λ 60 Условие применимости формулы Эйлера: формулы Эйлера:

119 17.3 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ Полная диаграмма критических напряжений λ 1(0,2...0,4) λ 0

120 17.4 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ С ПОМОЩЬЮ КОЭФФИЦИЕНТА СНИЖЕНИЯ ДОПУСКАЕМОГО НАПРЯЖЕНИЯ [σ с ] где: [σ с ] - допускаемое напряжение сжатия; φ φ - коэффициент снижения допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба) Значение φ подбирается последовательно, начиная с Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость: Площадь сечения стержня: