Углы в пространстве Подготовила учитель математики Горловской школы І – ІІІ ступеней 42 Рыбина М.В. - презентация

1 Углы в пространстве Подготовила учитель математики Горловской школы І – ІІІ ступеней 42 Рыбина М.В.

2 Задачи урока: Обучающая - повторить определение угла между прямой и плоскостью, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах, ввести определение угла между плоскостями, доказать, что угол между плоскостями не зависит от выбора точки на прямой пересечения плоскостей. Воспитательная – следить за чёткостью, аккуратностью, правильным выполнением чертежей, видеть связь между различными прямыми, плоскостями, воспитывать внимание, трудолюбие. Развивающая – развивать логическое мышление, уметь выделять главное, делать выводы, обобщать, развивать монологическую речь.

3 Угол между прямыми Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении.

4 Угол между скрещивающимися прямыми Это угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся.

5 Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

6 Чтобы построить угол между прямой и плоскостью 1) необходимо провести перпендикуляр из точки М к плоскости; 2)соединить основание перпендикуляра с основанием наклонной, т.е. провести проекцию; 3)искомый угол будет между проекцией и наклонной. Длина перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости, называется расстоянием от точки М до плоскости.

7 Двугранный угол. Фигура, образованная двумя полуплоскостями Q и R, проходящими через одну и ту же прямую MN, называется двугранным углом. Прямая MN называется ребром двугранного угла; полуплоскости Q и R – его гранями. Плоскость P, перпендикулярная к ребру MN, даёт в её пересечении с полуплоскостями Q и R угол AOB. Угол AOB называется линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

8 Чтобы построить угол между плоскостями Нужно сделать две вещи: 1. Провести линию пересечения плоскостей. 2. Выбрать точку на линии пересечения и через нее провести в каждой плоскости прямую, перпендикулярную к этой самой линии пересечения плоскостей. Угол между этими двумя прямыми и есть угол между плоскостями.

9 Теорема Угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости. Доказательство. Пусть есть две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с. проведем плоскость γ перпендикулярно прямой с. Тогда плоскость γ пересечет плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми a и b. Возьмем другую секущую плоскость γ`, перпендикулярную с. Тогда плоскость γ` пересечет плоскости α и β по прямым a` и b` соответственно. При параллельном переносе точка пересечения плоскости γ с прямой с перейдет в точку пересечения плоскости γ` с прямой с. при этом по свойству параллельного переноса прямая a перейдет в прямую a`, b – в прямую b`. следовательно углы между прямыми a и b, a` и b` равны. Теорема доказана.

10 Задача 1 Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 2 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

11 Задача 2 Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.

12 Задача 3 Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.

13 Задача 4 Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

14 Задача 5 Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

15 Задача 6 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.

16 Задача 7 Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен. Найдите cos, если: 1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см;