Вспоминаем, что было раньше знакомимся с «парадоксом заключённых» и учимся вызывать лифт в часы пик 29 сентября 2007 года. - презентация

1 вспоминаем, что было раньше знакомимся с «парадоксом заключённых» и учимся вызывать лифт в часы пик 29 сентября 2007 года

2 Социология - это наука изучающая человеческое общество, то, почему общество возникает, и какие силы его разрушают и, наконец, какие конфликты существуют в обществе. Казалось бы, в социологии нет места точным наукам. Однако, в последнее время математические методы стали всё больше и больше проникать в эту гуманитарную науку. Сегодня на нескольких примерах я постараюсь показать вам, как математика помогает понять взаимоотношения между людьми, как личные интересы каждого из нас могут вступать в конфликт с общественными интересами. Самым известным примером такого конфликта служит Парадокс заключённых

3 Итак, пусть 2 преступника были задержаны на месте преступления - они пытались ограбить ларёк, торгующий сигаретами около станции метро. Их доставили в полицию и решили до суда держать в разных камерах. Тем временем, следователь заподозрил, что эти два преступника (назовём их Джон и Тони) могут иметь отношение к ограблению банка, которое произошло на прошлой неделе, и до сих пор не раскрыто. Поэтому следователь по очереди заходит в камеру к Джону и Тони, пытаясь выяснить их причастность к ограблению банка. Естественно, что и Джон и Тони, не имея никакого отношения к ограблению банка, отрицают какую- либо причастность к этому. Тогда следователь каждого из них спрашивает о другом - Джона о Тони, а Тони о Джоне, намекая на то, что дружок кажется ему очень подозрительным. Следователь предлагает сделку: если, положим, Джон подтвердит перед судом, что Тони участвовал в ограблении банка, то суд простит Джону попытку ограбления ларька, и выпустит его на свободу. То же он говорит и Тони, но уже относительно Джона. Следователь советует обоим подумать до утра. Математически сделка, предложенная следователем выглядит следующим образом: Парадокс заключённых как Джон и Тони попали в полицию

4 ДжонТони Уговор между следователем и Джоном Джон молчит Тони молчит Тони клевещет на Джона Джон молчит Тони клевещет на Тони Джон клевещет на Тони Тони молчит Джона выпускают на свободу Джона сажают на 2 года Джона сажают на 3 года Джона сажают на 1 год Парадокс заключённых

5 действия Джона действия Тони молчит клевещетмолчит клевещет Последствия для Джона сговора со следователем Последствия действий Джона и Тони можно записать в виде таблицы. Видно, что если Джон молчит, то он получит от 1-го до 3-х лет тюрьмы, в зависимости от того, что сделает Тони. Если же Джон оклевещет Тони, то ему грозит не более 2-х лет, а то ещё могут и выпустить.

6 Последствия для Тони сговора со следователем Точно такие же перспективы и у Тони, а поэтому соответствующая таблица не отличается от таковой, составленной для Джона. А теперь попробуем отгадать, что ответят Тони и Джон на следующий день следователю? действия Тони действия Джона молчит клевещетмолчит клевещет 10 23

7 Что собщат Джон и Тони прокурору утром? если будут думать каждый о себе они оклевещут друг друга !!! и получат каждый по два года тюрьмы, вместо одного года, если бы молчали молчит клевещетмолчит клевещет Нетрудно догадаться, то для Джона и Тони более предпочтительным окажется - оклеветать напарника, так как, среднее время отсидки меньше, максимальное время отсидки тоже меньше, есть вероятность вообще избежать наказания. Джон и Тони оба считают, что напарник не сможет додуматься до такого мудрого решения, но оба приходят к тому же выводу - оклеветать. А в этом случае, свободы им не видать. Каждый из них забыл, что, принимая решение, необходимо не только думать о себе, но и ставить себя на место остальных.

8 Общество не является простой суммой своих членов. Возможности общества всегда больше суммы возможностей каждого из членов общества. Именно это толкает людей, да и животных, образовывать общества. Волки объединяются в стаи, чтобы убить крупную дичь. В одиночку каждый волк способен убить лишь зайца, а вдвоём могут убить оленя, вес которого гораздо больше суммы двух зайцев. То же относится и к человеческому обществу. Объединение творческих и физических способностей многих людей сделали общество таким, в котором мы сейчас живём. Парадокс заключённых - это, к сожалению, не единочный случай, когда люди в поисках личной выгоды вдруг забывают, что живут в обществе, где результат принятого решения во многом определяется позицией остальных его членов. То, что кажется выгодным для каждого из нас, перестаёт быть таковым, когда это делают все члены общества Это и есть парадокс заключённых!

9 Джон и Тони могли бы сократить срок своего пребывания в тюрьме до ОДНОГО года, если бы они подумали друг о друге, забыв на время о личной выгоде, т.е. не пошли на сговор со следователем Даже, если бы они выбрали свой ход случайно, то средний срок их пребывания не превысил бы полутора лет Докажите это!!

10 Многократный парадокс заключённых действия Тони действия Джона молчит клевещетмолчит клевещет 300 р500 р -10 р-100 Что получает Тони при различных своих действиях и действиях Джона Какая должна быть стратегия игры, чтобы не проиграть?

11 Око за око - лучшее решение многих социальных дилемм Докажите это!!

12 Мошенничество всегда было привлекательным во всех слоях общества. И в настоящее время, к сожалению, оно остаётся таковым. Обман покупателя, совершаемый при торговой сделке, может существенно обогатить продавца товара. В результате, уровень жизни продавца существенно повышается, и он может себе позволить, например, купить более дорогую машину или съездить отдохнуть не в Турцию, как он делал до этого, а, например, на Багамы. Поэтому, когда перед недобросовестным продавцом встаёт вопрос: завышать цену или нет, он отвечает - Да! Завышать, хотя и боится возмездия обманутого им общества. Но наш продавец живёт в обществе и часто становится покупателем у других продавцов. И эти продавцы тоже каждый день спрашивают себя - воровать или нет. В результате между всеми продавцами возникает ситуация, аналогичная Парадоксу заключённых. В данном случае, продавец обманывая покупателя, пытается сделать свою жизнь более роскошной, считая, что остальные продавцы (машин, туристических туров и т.п.) будут продолжать вести себя честно. Однако, как правило, происходит как раз обратное - вирус мошенничества охватывает всех и цены повышаются на все товары и услуги. В результате, мечты нашего продавца о поезде на Багамы и покупке дорогой машины так могут и остаться мечтами. Все мошенники - жертвы парадокса заключённых

13 нормальная выгода большая выгода и страх выгода или потери, но страх потери Выбор недобросовестного продавца честенобманывает Выбор остальных продавцов честны обманывают Парадокс недобросовестных продавцов

14 Затраты энергии, но чисто Нет затрат энергии и почти чисто Нет затрат энергии и грязно Затраты энергии, но всё-таки грязно Выбор гражданина не соритьсорить Выбор остальных граждан не сорить сорить Экологический парадокс

15 нормальные затраты времени меньшие затраты времени Большие затраты времени Большие затраты времени Выбор гражданина стоять в очередиидти без очереди Выбор остальных граждан стоять в очереди идти без очереди Парадокс очереди

16 Наши взаимоотношения с обществом - череда парадоксов, очень похожих на парадокс заключённых Пока мы не научимся учитывать интересы общества жить нам придётся очень плохо, как и всем заключённым

17 Как быстрее спуститься на лифте в час пик: нажимать одну кнопку или обе? Мы всегда куда-то торопимся. Особенно, утром, когда мы все идём на работу или учёбу. Многих из нас, кто живёт в многоэтажных домах, спешка охватывает уже на лестничной площадке, когда мы вызываем лифт, чтобы спуститься на первый этаж и выйти из дома. И если подъезд обслуживают два лифта, то, чтобы лифт пришёл быстрее, нажимаем обе кнопки. Итак, казалось бы, мы сделали всё, чтобы спуститься быстрее на первый этаж. Но, так ли это? Забегая вперёд, успокою всех тех, кто нажимает обе кнопки днём или поздно вечером. Действительно, не в часы пик, вызывая оба лифта сразу, вы ускоряете свой спуск вниз. Однако, одновременный вызов всеми двух лифтов в часы пик может не только не дать выигрыша, но даже удлинить ожидание на лестничной площадке, по сравнению с вызовом одного из них. Думаю, что у большинства читателей такое предостережение «нажимающим две кнопки» вызвало улыбку. По их мнению, этого просто не может быть! А вот и простой довод в защиту «нажимающих две кнопки» - нажимая обе кнопки мы увеличиваем в два раза вероятность того, что хотя бы один лифт появится в течение, скажем, одной минуты после их нажатия. Другими словами, рыбак с двумя удочками скорее поймает свою первую рыбу, чем рыбак, у которого только одна удочка. Но верно ли такое сравнение? Если действительно искать аналогию между вызовом обоих лифтов и рыбной ловлей, то придётся сделать её довольно необычной. Во первых, рыбок (лифтов) в пруду должно быть только две, а во-вторых, каждый поймавший рыбку должен отпустить её обратно в пруд, затратив на это какое-то время (открывание и закрывание дверей). А что, если все рыбаки закинут по две удочки (нажмут две кнопки)? Быстрее ли они поймают такую «золотую» рыбку, плывущую вдоль берега пруда туда и обратно? Ведь именно, такая «рыбная ловля» больше соответствует случаю, когда все жители подъезда в спешке вызывают сразу оба лифта.

18 Как быстрее спуститься на лифте в час пик: нажимать одну кнопку или обе? нормальные затраты времени меньшие затраты времени Большие затраты времени Большие затраты времени Выбор жильца дома Выбор остальных жильцов нажать одну нажать обе нажать однунажать обе

19 (2) с 8 до 9 часов утра на каждую из 16-ти лестничных плошадок выходят 8 человек независимо друг от друга и непредсказуемым образом (1) в подъезде нашем дома 17 этажей время число, человек выходящих к лифту каждую минуту Как быстрее спуститься на лифте в час пик: нажимать одну кнопку или обе? Условия задачи

20 (4) лифт обслуживает все вызовы по очереди, но по пути вниз забирает всех, кто нажал на кнопку, если его грузоподъёмность позволяет (3) каждый из вышедших нажимает одну или обе кнопки (5) грузоподъемность каждого лифта - 4 человека (6) скорость движения лифта - 0,5 этажа в сек (7) время, затрачиваемое на открывание и закрывание дверей - 10 сек (8) в 8:00 оба лифта находятся внизу и ждут вызовов Как быстрее спуститься на лифте в час пик: нажимать одну кнопку или обе? Условия задачи

21 Сначала посмотрим, сколько (в среднем) ждут люди прихода лифта. Отметим, что в нашем случае, когда каждую минуту в среднем 2,1 человека вызывают лифт, почти всегда существует очередь, состоящая из нескольких вызовов. Здесь речь идёт об очереди вызовов лифта, хранящейся в его компьютере, а не о группах людей, ожидающих вместе на одной лестничной площадке прихода лифта. Если бы очереди не существовало, а количество этажей в доме – N, то, как легко подсчитать, среднее ВОЛ достигло бы своего минимума и составило min ВОЛ=N/2V, где V-скорость движения лифта. Для 17-ти этажного дома min(ВОЛ) равно 17 секундам, а не 59 секундам, каким оно является на самом деле. Возникновение очереди связано с тем, что среднее время обслуживания одного пассажира, равное 2*min(ВОЛ)+2*Т = 54 секундам, в два раза превышает среднее время между вызовами лифта (3600/128=28 с). Существование двух лифтов не спасает положения, так как, нажимая на кнопку, мы не знаем свободен лифт или нет. Очевидно, что ростом этажности дома увеличивается и очередь, ожидающих вызовов, а вместе с ней и среднее ВОЛ, если количество жильцов на этаже и характеристики лифта остаются прежними. В таблице показаны полученные при моделировании средние величины ВОЛ для 8-, 13, 17- и 21-этажного дома. Как и следовало ожидать, ВОЛ растёт от 13 сек для 8-ми этажного дома до 197 сек в 21-этажном доме. Сколько ждать лифт в домах разной этажности в «часы пик», если нажимать одну кнопку?

22 Почему нет пропорциональной зависимости от числа этажей в доме? Ответ: лифт обслуживает старые вызовы, и возникает очередь из вызовов. И, чем выше дом, тем длиннее очередь А, что будет не в часы пик, или когда в подъезде мало жильцов?

23 ОЧЕРЕДЬ Зависимость времени ожидания лифта от числа жильцов в подъезде номер этажа время ожидания лифта, сек 8 жильцов на этаже 2 жильца на этаже нет очереди Почему жильцам верхних этажей приходится в 5 раз дольше ждать лифта?

24 В отсутствие очереди, ВОЛ должно линейно зависеть от номера этажа, F, с которого делается вызов, так как лифт всегда приходит с этажа «0» и затрачивает на это F/V секунд. Однако, реальная зависимость ВОЛ от номера этажа далека от линейной. На рис. приведены данные компьютерного моделирования, показывающие, что для всех этажей реальная кривая лежит гораздо выше той, которая соответствует отсутствию очереди (изображена синей прямой). Бросается в глаза непропорциональное увеличение ВОЛ для верхних этажей дома, где оно достигает почти трёх минут для этажа «16». Всё это говорит о том, что от очереди лифтовых вызовов страдают в нашем доме жильцы всех этажей, но, особенно, те, кто живёт наверху. Посмотрим, как будет зависеть ВОЛ от номера этажа в дождливый воскресный день, когда большинство жильцов предпочтут остаться дома и только 25 % выйдут из дома. Очевидно, что в этом случае очередь из вызовов должна значительно укоротиться, а зависимость ВОЛ от номера этажа приблизиться к линейной. Как показало компьютерное моделирование, «воскресная» зависимость (красная кривая на рис.), действительно очень близка к зависимости минимального ВОЛ от номера этажа, проходя выше пунктирной кривой на несколько секунд. Таким образом, даже если в течение часа один из двух лифтов вызывают только 32 человека, их вызовы, тем не менее, могут накладываться друг на друга, образуя очередь, и в результате среднее (за 365 воскресений) ВОЛ становится слегка выше его минимального значения. Почему наверху приходится дольше ждать лифт Как иллюстрирует черная кривая на рис. жители верхних этажей нашего дома могут раз в пять дольше ждать лифта, чем жители первых 8-10 этажей. И дело здесь конечно не в том, что лифт дольше идёт до верхних этажей, чем до нижних. Эта, кинематическая разница составляет не более 30 сек. Откуда же берутся ещё 110 сек задержки в обслуживании жильцов верхних этажей? Ответ – тот же. Очередь. Оказывается, что очередь для вызовов, поступивших с верхних этажей, всегда длиннее, и вот почему. Очевидно, что вероятность вызвать свободный лифт, стоящий на 1-м этаже не зависит от номера этажа. Однако сесть в лифт можно не только в тот, который сам вызвал, но и в опускающийся сверху и проходящий мимо твоего этажа. Здесь-то и становится заметным преимущество тех кто живёт в нижних этажах – они садятся в лифты, соответствующие более ранним заказам, но сделанным жильцами более высоких этажей. Возможность сесть в проходящий лифт укорачивает очередь лифтового компьютера, но крайне несправедливо для жителей верхних этажей – их вызовы продолжают накапливаться в его памяти. Это и является причиной непропорционально большого роста ВОЛ для тех, кто живёт близко к крыше, объясняя зависимость, полученную при моделировании (чёрная кривая на Рис.). НЕВОЗМОЖНОСТЬ ДЛЯ ЖИТЕЛЕЙ ВЕРХНИХ ЭТАЖЕЙ СЕСТЬ В ПРОХОДЯЩИЙ ЛИФТ Сколько ждать лифт в домах разной этажности в «часы пик», если нажимать одну кнопку?

25 Сколько ждать лифт в домах разной этажности в «часы пик», если нажимать одну или обе кнопки? Компьютерное моделирование показывает, что вызов одновременно двух лифтов не ускорит приход на работу или учёбу жильцов нашего 17-ти этажного дома, а среднее ВОЛ увеличится с 59 до 70 сек. Но отмечу, что выигрыш от нажатия обеих кнопок исчезает только когда ВСЕ нажимают обе кнопки. Если верить результатам компьютерного моделирования, приведённым в таблице, то жильцам многоэтажных домов с количеством этажей 17 и выше не выгодно вызывать два лифта сразу, так как среднее ВОЛ при этом возрастает, по сравнению с нажатием только одной кнопки (см. красные цифры в таблице). Этот результат уже не кажется нам удивительным, так как ранее мы выяснили, что вызов обоих лифтов ускоряет обслуживание только тогда, когда средний интервал между выходом жильцов из своих квартир (СИВ) превышает среднее время их обслуживания лифтом (СВО). Для восьмиэтажного дома СИВ = 64 сек, а СВО можно вычислить прибавив к двум минимальным ВОЛ удвоенное время открывания-закрывания дверей, что даёт 36 сек. Значительное превышение СИВ над СВО не даёт возникнуть очереди в 8-ми этажном доме и делает выгодным нажатие сразу двух кнопок. В 17-ти этажном доме СИВ равен 28 сек, составляя только половину величины СВО (54 сек), что и служит причиной возникновения длинных очередей, делая одновременный вызов обеих лифтов невыгодным.

26 Часть жильцов нажимают обе кнопки Процент жильцов вызывающих оба лифта время ожидания лифта, сек вызывают один лифт вызывают оба лифта На рис. видно, что, когда 80 % жильцов жмут на обе кнопки, они уже ничего не выигрывают по сравнению с тем случаем, когда все вызывают только один какой-нибудь лифт. Почему же с ростом числа людей, вызывающих оба лифта, их обслуживание может замедляться? Ответ очень прост. Нажимая обе кнопки, мы искусственно увеличиваем длину очереди для жильцов, выходящих к лифтовым холлам позже нас. А, если кто-то нажал обе кнопки на другом этаже до того, как это сделали мы, то длина очереди увеличивается и для нас. Когда процент жильцов, вызывающих сразу оба лифта невысок (от 1 до 5 %), то они почти в два раза меньше, чем остальные, ждут прихода лифта. Видно, что выигрыш тех немногих, кто нажимает обе кнопки, происходит за счёт замедления обслуживания остальных жильцов.

27 вызывают оба лифта вызывают один лифт номер этажа время ожидания лифта, сек Жильцы каких этажей выигрывают от нажатия обеих кнопок? Жильцам верхних этажей опять не везёт Мы уже знаем, что жильцы верхних этажей вынуждены простаивать в ожидании лифта гораздо дольше даже, если все в подъезде вызывают только один из двух лифтов. Не везёт им и в том случае, когда все жмут две кнопки. Видно, что одновременный вызов двух лифтов позволяет жильцам нижних этажей (вплоть до «12») уменьшить ВОЛ, однако, начиная с этажа «14» то же приводит к противоположному результату, а для жильцов этажа «17» нажатие двух кнопок приводит к увеличению ВОЛ аж в два раза. Причиной такой несправедливости по отношению к жителям верхних этажей является ОЧЕРЕДЬ. Для многих вызовов с нижних этажей она отсутствует или очень невелика, так как можно «пройти без очереди», воспользовавшись проходящим мимо лифтом. Жильцы сверху пройти без очереди не могут, и вынуждены отстоять её всю. Поэтому, когда все начинают давить сразу на обе кнопки, то больше всего страдают те, кто сверху.

28 Подведём итоги Компьютерное моделирование эксплуатации лифта в 17-ти этажном доме, где на каждом этаже 8 человек вызывают лифт в течение часа, чтобы спуститься вниз, убедило нас, что вызывать сразу два лифта выгодно, если это делает небольшая группа людей (1-5%). При этом выигрыш во времени ожидания лифта у этой маленькой группы достигается за счёт замедления обслуживания остальных жильцов. Когда число вызывающих сразу два лифта вырастает до 50%, то их выигрыш уменьшается вдвое. Ну, а если обе кнопки нажимают все, то время ожидания лифта даже увеличивается, и особенно, для жителей верхних этажей.

29 Вывод из анализа ситуаций, аналогичных парадоксу заключённых Стратегия, приносящая выгоду малому числу членов общества, перестаёт работать и приносит вред, если её начинают использовать ВСЕ члены общества или Нельзя обманывать, воровать и засорять окружающую среду! Надо стоять в очереди!

30 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ: Что такое парадокс заключённых? Назовите социальные дилеммы, аналогичные парадоксу заключённых Какие ограничения накладывает общество на выбор стратегии каждого из нас? Что такое многократный парадокс заключённых и существует ли оптимальная стратегия для того, чтобы не проиграть? Почему дилемма вызова одного или обоих лифтов в многоэтажных зданиях служит одним из примеров парадокса заключённых? Кто выигрывает от вызова обоих лифтов в часы пик? Кто выигрывает от вызова обоих лифтов ночью?