4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной. - презентация

1 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют декартову систему координат, базисом в которой является единичные, попарно ортогональные вектора. Говорят, что три некомпланарных вектора образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчай- ший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую тройку, если по часовой. Векторы, образующие правую декартову прямоугольную систему координат, обозначают i, j, k. Оси координат в этой системе координат называют соответственно осью OX (абсцисс), OY (ординат), OZ (аппликат)

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью. Проекцией точки А на прямую (плоскость) называется основание перпендикуляра, опущенного из точки А на эту прямую.

3 ТЕОРЕМА 6. Координаты вектора ā V (2) (V (3) ) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси. Свойства проекций

4

5

6

7 §2. Простейшие задачи векторной алгебры Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем во множестве V (3) (V (2) ) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).

8 ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе. ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.

9 Геометрический смысл координат орта вектора Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.

10 ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. Если λ > 0, то точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2. В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внутреннем отношении. Если λ < 0, то точка M 0 лежит на продолжении отрезка M 1 M 2. В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внешнем отношении.

11 §3. Нелинейные операции на множестве векторов СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. 1. Скалярное произведение векторов 2. Векторное произведение векторов 3. Смешанное произведение векторов 1. Скалярное произведение векторов

12 3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т.е. 4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. Т.е.

13 5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е. Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов.