Малая Академия Наук гимназии 1 г. Нерюнгри математическое отделение 2006 – 2007 гг. - презентация

1 Малая Академия Наук гимназии 1 г. Нерюнгри математическое отделение 2006 – 2007 гг.

2 Комплексные числа Исследовательская работа Выполнил ученик 11 «А» класса Дударев Александр. Руководитель учитель высшей категории Поддельская В. Б.

3 Выход Оглавление Цель, актуальность, задача Цель, актуальность, задача История развития учения о комплексных числах История развития учения о комплексных числах Действия с комплексными числами Решение уравнений Комплексная плоскость Возведение в степень и извлечение корня Результаты проведения элективного курса Тест

4 Выход Цель Целью моего проекта является изучение комплексных чисел как раздела математики и создание наглядного электронного пособия для учащихся старших классов и студентов первого курса технических ВУЗов.

5 Выход Актуальность Я считаю, что мой проект актуален, так как в настоящее время довольно сложно найти учебное пособие, в котором эта тема объяснена доступно, просто и понятно для учащихся. Тем более, что сейчас комплексные числа входят в программу только физико-математического профиля.

6 Выход Задача Задачу я перед собой ставил такую: исследование изучения темы «Комплексные числа» по данному учебному пособию учениками 11 класса и проверка их знаний.

7 Выход Исторические факты 1545 г. – Джироламо Кардано вводит понятие «чисто отрицательное число» - прообраз мнимого г. – Рене Декарт вводит понятие «мнимое число» г. – Леонард Эйлер предлагает использовать первую букву французского слова imaginaire для обозначения -1. Конец XVIII в. – Ж. Лагранж применяет комплексные числа для решения линейных дифференциальных уравнений. Конец XVIII в. – Якоб Бернулли применяет при вычислении интегралов комплексные числа. Начало XIX в. – обоснование геометрии комплексных чисел Каспаром Весселем, Жаном Арганом, К. Гауссом.

8 Выход Мнимая единица Мнимая единица: i = -1

9 Выход Общий вид Общий вид комплексного числа: z = a + bi, где a и b – действительные числа, а i = - 1. a называют действительной частью числа и обозначают Re, b – мнимой, обозначают Im.

10 Выход Сопряжённые числа z 1 = a + bi z 2 = a – bi Произведением и суммой сопряжённых чисел являются действительные числа: a + bi+ a – bi = 2a = a 2 + b 2 (a + bi)(a – bi) a·a – bi·bi

11 Выход Моё маленькое открытие К вышеизложенным двум свойствам сопряжённых чисел я добавил ещё одно, доказанное лично мной. А именно, что сумма корней из двух сопряжённых чисел – действительное число.

12 Выход Модуль Модулем комплексного числа называют длину вектора, соответствующего числу. Численно он равен корню из произведения двух сопряженных чисел: r = |z| = |a + bi| = a 2 + b 2

13 Выход Действия с комплексными числами Сумма: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание: (a + bi) – (c + di) = = (a – c) + (b – d)i. Произведение: (a + bi) (c + di) = = (ac – bd) + (ad + bc) i. Деление:

14 Выход Решение квадратных уравнений Любое квадратное уравнение az 2 + bz + c = 0, где a, b, с – действительные числа, a 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле: z 1, 2 =. Любое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть повторяющиеся и комплексные.

15 Выход Формула Кардано Формула Кардано для нахождения корней кубического уравнения вида x 3 + px + q = 0:

16 Выход Комплексная плоскость Радиус-вектор OM соответствует комплексному числу z = a + bi O x y M a b φ = arg z

17 Выход Тригонометрическая форма записи комплексных чисел В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна |z|. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно: a = Re z = | z | cos φ, b = Im z = | z | sin φ, где φ – аргумент комплексного числа z. O x y M a b N

18 Выход Модуль на координатной плоскости Меня поразило, что каждому модулю (т.е. длине вектора) соответствует множество значений. Все они лежат на окружности радиусом |z|. Т.е. существует множество чисел с одинаковым модулем. y M O x |z|

19 Выход Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Таким образом: z = a + bi = | z | cos φ + | z | sin φ i = = | z | (cos φ + i sin φ). Произведение двух комплексных чисел будет равно: z1 z2 = | z1 | | z2 | (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)). При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить. При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

20 Выход Формула Муавра Формулой Муавра называют выражение, получаемое при возведение комплексного числа в степень n: z n = r n (cos nφ + i sin nφ).

21 Выход Извлечение корня из комплексного числа Если z = r (cos φ + i sin φ), то эти значения выражаются формулой:

22 Выход Мои маленькие открытия Ещё одно свойство сопряжённых чисел. Свойство модуля числа на координатной плоскости. Свойство модуля числа на координатной плоскости.

23 Выход Результаты проведения элективного курса в 11 классе