Старинные задачи Старинные задачи Работа ученика Работа ученика 9Б класса Шалинской СОШ Гимадиева Ильфата. Руководитель: учитель математики В.В.Гимадиева. - презентация

1 Старинные задачи Старинные задачи Работа ученика Работа ученика 9Б класса Шалинской СОШ Гимадиева Ильфата. Руководитель: учитель математики В.В.Гимадиева год 2013 год

2 Содержание Содержание Задачи Вавилона Задачи Вавилона Задачи Евклида Задачи Евклида Задачи Аполлония Задачи Аполлония Задачи Архимеда. Задачи Архимеда.

3 Задачи Вавилона. 1 Задача. 1 Задача. За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность шестиугольника. Найти приближение для П, которым пользовались вавилоняне За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность шестиугольника. Найти приближение для П, которым пользовались вавилоняне Решение:Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равняется радиусу, следовательно, 2ПR=6R, откуда

4 2 Задача. Разделить прямой угол на три равные части. Решение. Решение. Древние вавилоняне умели строить равносторонний треугольник, а с его помощью делить прямой угол на три равные части. Древние вавилоняне умели строить равносторонний треугольник, а с его помощью делить прямой угол на три равные части. Пусть дан прямой угол АВС. Требуется разделить его на три равные части. Для этой цели на отрезке ВД стороны ВА построим равносторонний треугольник ВЕД. Тогда угол СВЕ будет составлять одну треть прямого угла. Остаётся только разделить пополам угол ЕВД, и задача будет решена. Пусть дан прямой угол АВС. Требуется разделить его на три равные части. Для этой цели на отрезке ВД стороны ВА построим равносторонний треугольник ВЕД. Тогда угол СВЕ будет составлять одну треть прямого угла. Остаётся только разделить пополам угол ЕВД, и задача будет решена. С В А Е Д

5 3 Задача. Для определения площади четырехугольника вавилоняне брали произведение полусумм противоположных сторон. Выяснить,для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь Решение:Возьмем две пары противоположных чисел а,b,c,d. Согласно условию задачи, площадь четырехугольника Действительно, для а=b ; c c=d ; S=ac.

6 Задачи Евклида.(из трактата «Начала») 1 Задача. На данной конечной прямой АВ построить равносторонний треугольник. Решение.Приняв А за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр, опишем другую окружность тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружностей через С и соединив её прямыми с А и В, получим треугольник АВС, который, как легко проверить, и есть искомый. Решение.Приняв А за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр, опишем другую окружность тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружностей через С и соединив её прямыми с А и В, получим треугольник АВС, который, как легко проверить, и есть искомый.

7 2 Задача. Разделить произвольный угол на 2 равные части. Решение. Пусть ВАС- данный произвольный угол. Возьмём на стороне АВ произвольную точку Д.Далее на стороне АС построим отрезок АЕ=АД. Точки Д и Е соединим прямой. Теперь на отрезке ДЕ построим равнобедренный треугольник ДЕН. Соединим А и Н прямой, которая и будет делить данный угол пополам, так как АДН= АЕН. Решение. Пусть ВАС- данный произвольный угол. Возьмём на стороне АВ произвольную точку Д.Далее на стороне АС построим отрезок АЕ=АД. Точки Д и Е соединим прямой. Теперь на отрезке ДЕ построим равнобедренный треугольник ДЕН. Соединим А и Н прямой, которая и будет делить данный угол пополам, так как АДН= АЕН. А Д Н Е В С

8 3 Задача.. Построить параллелограмм, стороны которого наклонены под углом так, чтобы он был равновелик данному треугольнику. Решение: Пусть АВС- данный треугольник, а -данный угол. Для решения задачи делим ВС в точки Д пополам и строим при точке Д угол, равный. Далее через С прово- дим прямую параллельную прямой ДЕ, а через точку А- прямую АН, параллельную ВС. Тогда полученный парал- лелограмм ДЕНС и будет искомым. Решение: Пусть АВС- данный треугольник, а -данный угол. Для решения задачи делим ВС в точки Д пополам и строим при точке Д угол, равный. Далее через С прово- дим прямую параллельную прямой ДЕ, а через точку А- прямую АН, параллельную ВС. Тогда полученный парал- лелограмм ДЕНС и будет искомым. В А Е Н С Д

9 4 Задача. В данный круг вписать треугольник, равноугольный данному треугольнику. Решение.На окружности данного круга берём произвольную точку А 1 и в ней проводим касательную ДЕ. Далее строим угол ЕА 1 С 1, равный углу β, и угол ДА 1 В 1, равный углу Решение.На окружности данного круга берём произвольную точку А 1 и в ней проводим касательную ДЕ. Далее строим угол ЕА 1 С 1, равный углу β, и угол ДА 1 В 1, равный углу Y После соединения точек В 1 и С 1 прямой получаем треугольник А 1 В 1 С 1, который и будет искомым. После соединения точек В 1 и С 1 прямой получаем треугольник А 1 В 1 С 1, который и будет искомым. А В С β α Y Д ЕА1А1 Y β О

10 Задачи Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей. Решение задачи, выполненное Аполлонием, до нас не дошло, однако оно упоминается некоторыми древними авторами. По-видимому, Аполлоний, чтобы решить задачу в общем виде, рассматривал ее части и предельные случаи: построить окружность, Решение задачи, выполненное Аполлонием, до нас не дошло, однако оно упоминается некоторыми древними авторами. По-видимому, Аполлоний, чтобы решить задачу в общем виде, рассматривал ее части и предельные случаи: построить окружность, 1) проходящую через три данные точки; 2)касающуюся трех данных прямых; 3) проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых; 4) проходящую через данную (прямую) точку и касающуюся двух данных пересекающихся прямых; 5) Проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой; 6)Касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки; 7)Касающуюся трех данных окружностей, проходящих через одну общую точку. Исследование показывает, что если задача Аполлония имеет конечное число решений, то их не более восьми. Исследование показывает, что если задача Аполлония имеет конечное число решений, то их не более восьми.

11 Задача Архимеда. Если круг описан около квадрата,а другой в него вписан, то описанный круг по площади в два раза больше вписанного Решение: Sопис= ΠR2 ; S Sвпис. =Π r2 ; r = R=, где а- сторона квадрата. Тогда опис= и и Sвпис = Следовательно, Sопис= 2Sвпис

12 Архимед доказал: Архимед доказал: Каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, если радиус равен одному из катетов, а выпрямленная окружность равна другому катету; Круг относится к квадрату своего диаметра, как 11 к 14; Покажите, что оба положения Архимеда тождественны с сов ременным правилом вычисления: площадь круга равна r2. Решение: 1) 2 Пr ·r=Пr2 2) ; откуда ; Таким образом,площадь круга,по Архимеду,как и теперь,равняется

13