Квазипериодическая динамика и переход к хаосу в отображении окружности При общем обсуждении проблемы перехода к хаосу мы говорили, что в многомерных нелинейных. - презентация

1 Квазипериодическая динамика и переход к хаосу в отображении окружности При общем обсуждении проблемы перехода к хаосу мы говорили, что в многомерных нелинейных системах хаосу часто предшествует несколько бифуркаций рождения колебательных составляющих, отношение частот которых в общем случае зависит от параметров задачи. Когда оно иррационально, реализуются квазипериодические режимы. В фазовом пространстве им соответствуют аттракторы в виде торов, размерность которых определяется количеством основных частотных компонент. При отношениях частот, близких к рациональным, из-за присущей системе нелинейности эти компоненты взаимодействуют, обнаруживая тенденцию к взаимной синхронизации («захвату частот», mode locking) с возникновением периодических режимов. Квазипериодические и периодические режимы в свою очередь могут претерпевать различные бифуркации. Говоря о переходе к хаосу через квазипериодичность, нужно иметь в виду всю эту сложную картину. Для обсуждения данного механизма перехода к хаосу мы анализируем простую модельную систему – одномерное отображение окружности.

2 Отображение окружности Если в задаче о потере устойчивости предельного цикла рассматривать выход из треугольника устойчивости через верхнюю границу, то это соответствует переходу двух комплексно-сопряженных мультипликаторов через единичную окружность и рождению новой частотной составляющей движения. Пусть нелинейность в системе такова, что она способствует ограничению возникающей новой компоненты, т.е. это мягкая (суперкритическая) бифуркация рождения тора. Рассмотрим ситуацию вдали от точки бифуркации, когда тор-аттрактор уже образовался. Рассмотрим его сечение площадкой S. В сечении имеем замкнутую кривую, точкам которой можно приписать угловую координату. Если выпустить траекторию из точки = n, то, оставаясь на торе, она обойдет вокруг него и вновь пересечет поверхность S в какой-то другой точке = n+1. Соотношение, связывающее n+1 и n, в общем случае будет иметь вид (61)

3 f( ) – некоторая периодическая функция, а параметр определяется отношением периодов обхода тора по параллели и меридиану, т.е. отношением частоты, существовавшей до рождения тора, и частоты, появившейся в результате бифуркации. Функцию f( ) можно представить в виде ряда Фурье. Предположим, что допустимо ограничиться первой гармоникой. Обозначим ее амплитуду через k и выберем начало отсчета так, чтобы f(0) = 0. Тогда из (61) получаем (62) Переменную можно трактовать как координату точки на окружности, поэтому об отображении (62) говорят как об отображении окружности (circle map). К этому же отображению можно прийти на основе рассмотрения физической задачи о воздействии последовательности импульсов на автоколебательную систему. Тогда параметры k и в отображении (62) имеют ясный физический смысл. Первый характеризует амплитуду импульсных толчков, а второй – расстройку между частотой их следования и частотой автоколебаний.

4 Динамика отображения окружности Обсудим, как зависит динамика отображения окружности от параметров k и. Прежде всего заметим, что фигурирующая в правой части выражения (62) функция f( ) = + + k sin имеет существенно разные свойства при k 1. При k 1 функция f( ) становится немонотонной, она имеет максимумы и минимумы ( по одному на каждый период) и уже не является взаимно-однозначной.

5 Полезной характеристикой, позволяющей различать типы динамических режимов, служит число вращения, определяемое как (63) Режим считается периодическим, если начальное значение через некоторое число шагов q воспроизводится с точностью до добавки целого числа полных периодов, т.е. n+q - n = 2 p. Такому режиму отвечает рациональное число вращения = p/q. Квазипериодические режимы имеют иррациональное число вращения и нулевой ляпуновский показатель. Хаос диагностируется по наличию положительного ляпуновского показателя.

6 Карта динамических режимов на плоскости параметров отображения окружности (62). Области, изображенные различными тонами серого цвета, отвечают периодическим режимам (языки Арнольда), для нескольких языков цифрами указано число вращения. Области квазипериодичности и хаоса показаны белым. В области k 1 – периодические и хаотические режимы. Линия k = 1, разграничивающая области существенно разного динамического поведения, называется критической линией. При k = 0 число вращения = /2, так что при рациональных значениях /2 имеют место периодические, а при иррациональных – квазипериодические режимы. На плоскости параметров области периодичности имеют вид характерных языков (языки Арнольда, области синхронизации), которые остриями подходят к рациональным точкам оси абсцисс.

7

8 Несмотря на то, что количество языков бесконечно, между ними остается место для квазипериодических режимов. Это очевидно при k = 0, но оказывается справедливым и при конечных k, пока k < 1. При фиксированном 0 < k < 1 для каждого рационального числа p/q существует свой интервал значений параметра расстройки, в пределах которого число вращения фиксировано и равно p/q. Этот интервал определяется шириной соответствующего языка Арнольда при данном k.

9 Зависимость числа вращения от параметра расстройки оказывается монотонной непрерывной функцией, содержащей бесконечное число горизонтальных ступенек. Ее называют «чертовой лестницей» (devils staircase). При k 0 суммарная длина всех ступенек чертовой лестницы стремится к нулю. При увеличении k она монотонно возрастает и при k = 1 становится равной единице. Множество значений параметра /2, не принадлежащих ступенькам, соответствует иррациональным числам вращения и квазипериодическим режимам динамики. Мера этого множества равна единице при k = 0 и убывает до нуля при k = 1. В этом последнем случае чертову лестницу называют полной. Зависимость числа вращения от k и /2 показана в виде трехмерного графика. Проекция этого графика на плоскость (, k) дает расположение языков синхронизации, а сечение плоскостью k = 1 – полную чертову лестницу.

10 В закритической области k > 1 языки Арнольда частично перекрываются, что говорит о наличии мультистабильности: при одних и тех же значениях параметров может сосуществовать несколько аттракторов, отвечающих разным динамическим режимам. Каждый из них реализуется при задании начальных условий в бассейне притяжения соответствующего аттрактора. Внутри языков можно видеть сложную картину областей, где имеет место переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоений периода на базе основного для данного языка периодического режима. Чем больше знаменатель рационального числа вращения = /2, тем ближе к критической линии k = 1 располагается в данном языке Арнольда область хаоса. В пределе q, что соответствует иррациональным числам вращения, хаос можно обнаружить сколь угодно близко к критической линии.