Современные компьютерные технологии в экономической науке и практик е Мельников П.П. Кафедра Информационные технологии актуализировано 20.10.2012 Мельников. - презентация

1 Современные компьютерные технологии в экономической науке и практик е Мельников П.П. Кафедра Информационные технологии актуализировано Мельников П. П. 1

2 актуализировано Мельников П. П. 2 Тема. Информационные технологии вероятностного и статистического моделирования экономических процессов Вопросы 1. Генерация случайных величин 2. Вычисление числовых характеристик распределений вероятностей 3. Решение задач статистического анализа в табличном процессоре 4. Технологии решения задач дисперсионного анализа 5. Решение задач корреляционного анализа 6. Технологии решения задач регрессионного анализа 7. Технологии решения задач финансовой математики в табличном процессоре

3 1. Генерация случайных величин Генерация случайной величины, распределенной по равномерному закону Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений случайной величины одна и та же, то есть Р(ч)= 1/N, где N – количество возможных значений случайной величины. Для получения случайной величины, распределенной по равномерному закону, в библиотеке табличного процессора в категории Математические есть специальная функция СЛЧИС (), которая генерирует случайные вещественные числа в диапазоне Если необходимо сгенерировать случайные числа в другом диапазоне, то для этого нужно использовать формулу: = СЛЧИС () * (b – a) +a, где - a - число, устанавливающее нижнюю границу диапазона; - b – число, устанавливающее верхнюю границу диапазона. Для генерации целых случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне между двумя заданными числами в библиотеке табличного процессора есть специальная функция СЛУЧМЕЖДУ. Функция имеет параметры: СЛУЧМЕЖДУ (Нижн_гран; Верхн_гран ) актуализировано Мельников П. П. 3

4 Пример генерации случайных величин актуализировано Мельников П. П. 4

5 Генерация случайных чисел, распределенных по различным законам В табличном процессоре MS Excel для генерации случайных чисел есть специальный инструментГенерация случайных чисел. Этот инструмент позволяет генерировать числа, распределенные по различным законам. В их число входят: -равномерное распределение, инструмент позволяет генерировать заданное количество случайных чисел (по умолчанию в интервале 0 – 1); - нормальное распределение – характеризуется средним значением и стандартным отклонением. Инструмент позволяет генерировать заданное количество случайных чисел, по умолчанию используется среднее значение 0 и стандартное отклонение 1; - биноминальное распределение - характеризуется вероятностью успеха для некоторого числа испытаний, например, можно сгенерировать случайные двухальтернативные переменные по числу испытаний, сумма которых будет биноминальной случайной величиной; - дискретное – характеризуется значением и соответствующим ему интервалом вероятности. Величины значений предварительно формируются в диапазоне ячеек виде столбца, в смежном столбце правее первого указываются и соответствующие вероятности. Сумма вероятностей должна быть равна единице; - распределения Бернулли, Пуассона и Модельное. актуализировано Мельников П. П. 5

6 актуализировано Мельников П. П. 6 Для включения инструмента Генерация случайных чисел нужно выполнить команду меню Сервис - Анализ данных, в открывшемся окне диалога Анализ данных выбрать в списке Генерация случайных чисел

7 2. Вычисление числовых характеристик распределений вероятностей Числовыми характеристиками распределения вероятностей случайных величин, позволяющими наглядно получить представление о том или ином распределении являются моменты и квантили. Первым моментом случайной величины является математическое ожидание или среднее значение, которое характеризует центр распределения вероятностей. Вторым моментом, характеризующим разброс случайной величины относительно математического ожидания, является центральный момент случайной величины, который называют дисперсией. Величина равная корню квадратному из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением. Для случайных величин, принимающих вещественные значения, используются такие характеристики, как квантили. Квантилью Хр случайной величины, имеющей функцию распределения F(х) называется решение Хр уравнения F(х) = р, где р – заданная вероятность. Среди квантилей чаще всего используют медиану и квартили распределения Медианой называется квантиль, соответствующая значению р=0,5. Верхней квартилью называется квантиль, соответствующая значению р=0,75, а нижней – квантиль, соответствующая значению р=0,25. В табличном процессоре для вычисления некоторых числовых характеристик дискретных распределений вероятностей используются функции СРЗНАЧ, ДИСПР, СТАНДОТКЛОНП, КВАРТИЛЬ и ПЕРСЕНТИЛЬ актуализировано Мельников П. П. 7

8 Вычисление числовых характеристик табличного закона распределения Соответствие между отдельными возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей актуализировано Мельников П. П. 8 При распределении, заданном таблично, математическое ожидание вычисляется по формуле M(х)= x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n. Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле: D(X)=M(X 2 ) – [M(X)] 2. Среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

9 Пример: Ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж Х автомобилей подчиняется закону распределения Вычислить математическое ожидание ежедневной прибыли при цене автомобиля 150 тыс. ден. ед.(281,25 тыс. ден.ед.) Решение Прибыль определяется соотношением: П= Количество_прод * Ц – расходы Для вычисления нужно вычислить математическое ожидание количества продаваемых автомобилей в день. актуализировано Мельников П. П. 9

10 актуализировано Мельников П. П. 10

11 Вычисление числовых характеристик биноминального распределения Биноминальное распределение – одно из самых распространенных дискретных распределений, которое служит моделью для многих процессов. Для вычисления вероятности отдельного значения биноминального распределения или значения случайной величины по заданной вероятности в табличном процессоре есть функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ. Функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача. Функция КРИТБИНОМ служит для вычисления наименьшего числа успешных исходов случайной величины, для которого интегральное биноминальное распределение больше или равно заданной величине (критерию). актуализировано Мельников П. П. 11

12 Пример: Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Требуется составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования. Решение актуализировано Мельников П. П. 12

13 Вычисление числовых характеристик нормального закона распределения В табличном процессоре для вычисления значений нормального распределения есть специальные функции: НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР, и НОРМАЛИЗАЦИЯ. Функция НОРМРАСП вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для заданного среднего и стандартного отклонения. Функция НОРМОБР служит для вычисления квантилей для указанного среднего и стандартного отклонения (решается уравнение F(x) = p). Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ по заданному значению x и параметрам распределения вычисляет нормализованное значение, соответствующее x. Пример: Магазин продает мужские костюмы. Распределение спроса по размерам является нормальным с математическим ожиданием М=48 и сигма=2. Вычислите процент спроса на 50 размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49,51). актуализировано Мельников П. П. 13

14 Решение актуализировано Мельников П. П. 14 Результат: 24,17%

15 3. Решение задач статистического анализа в табличном процессоре 3. Решение задач статистического анализа в табличном процессоре Построение выборочной функция распределения На практике часто бывают ситуации, когда полное исследование каждого объекта из интересующей совокупности по различным причинам невозможно. В этих случаях из всей совокупности объектов случайным образом отбирают ограниченное число объектов и подвергают их исследованию. Вся совокупность объектов, из которых производится выборка называется генеральной совокупностью. совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов называется выборочной совокупностью. В табличном процессоре для построения выборочной функции распределения используется специальная функция ЧАСТОТА и инструмент пакета анализа Гистограмма. Функция ЧАСТОТА вычисляет частоты появления случайных величин в ин-тервалах значений и выводит их как массив чисел. Функция имеет параметры: ЧАСТОТА(массив_данных; массив_интервалов ). Инструмент Гистограмма служит для вычисления выборочных и интегральных частот попадания данных в указанные интервалы значений. Выходным результатом является таблица и гистограмма. актуализировано Мельников П. П. 15

16 Пример: Построить эмпирическое распределение рейтинга студентов по результатам экзаменов, оцененных в баллах для следующей произвольной выборки: 48, 51, 64, 62, 55, 71, 74, 79, 80, 86, 91, 99, 83, 50. Решение с использованием функции ЧАСТОТА актуализировано Мельников П. П. 16 Выборочная функция распределения имеет вид:

17 Решение с использованием инструмента Гистограмма актуализировано Мельников П. П. 17 Выборочная функция распределения имеет вид:

18 Вычисление основных статистических характеристик с использованием библиотечных функций 1. Функции, характеризующие центр распределения : функция СРЗНАЧ вычисляет среднее арифметическое из одного или нескольких массивов чисел; функция СРГАРМ позволяет получить среднее гармоническое множества данных. Среднее гармоническое – это величина, обратная к среднему арифметическому обратных величин; функция СРГЕОМ вычисляет среднее геометрическое значений массива положительных чисел. Эту функцию можно использовать для вычисления средних показателей динамического ряда; функция МЕДИАНА позволяет получить медиану заданной выборки. Медиана – это элемент выборки, число элементов со значениями больше которого и меньше которого равно. Например, МЕДИАНА(5; 6; 8; 5; 9; 10; 8; 9) равна 8; функция МОДА вычисляет количество наиболее часто встречающихся значений в выборке (наиболее вероятная величина). актуализировано Мельников П. П. 18

19 2. Функции, характеризующие рассеивание функция ДИСП позволяет оценить дисперсию по выборочным данным – степень разброса элементов выборки относительно среднего значения; функция СТАНДОТКЛОН вычисляет стандартное отклонение – характеризует степень разброса элементов выборки относительно среднего значения; функция ПЕРСЕНТИЛЬ позволяет вычислить квантили заданной выборки. 3. Функции, позволяющие оценить форму эмпирического распределения: функция ЭКССЦЕСС – вычисляет оценку эксцесса по выборочным данным – степень выраженности хвостов распределения, т.е. частоты появления удаленных от среднего значения; функция СКОС позволяет оценить асимметрию выборочного распределения - величину, характеризующую несимметричность распределения элементов выборки относительно среднего значения. актуализировано Мельников П. П. 19

20 Пример В таблице приведены сведения о ежемесячной реализации продукции за периоды до и после начала рекламной компании. Требуется найти средние значения и стандартные отклонения приведенных данных Решение актуализировано Мельников П. П. 20

21 Вычисление основных статистических характеристик с использованием библиотечных функций с применением инструмента Описательная статистика Пакета анализа Вычисление основных статистических характеристик с использованием библиотечных функций с применением инструмента Описательная статистика Пакета анализа Пример: Даны выборки зарплат основных групп работников банка: администрации (менеджеров), персонала по работе с клиентами, технических служб. Требуется вычислить основные статистические характеристики в группах данных Админи стра ция Персонал по работе с клиентами Технические работник и актуализировано Мельников П. П. 21 Описательная статистика вычисляет следующие статистические характеристики: среднее, стандартную ошибку (среднего), медиану, моду, стандартное отклонение, дисперсию выборки, эксцесс, асимметричность, интервал, минимум, максимум, сумму, наибольшее, наименьшее, счет, уровень надежности

22 Решение актуализировано Мельников П. П. 22

23 Проверка статистических гипотез в электронной таблице Вычисление доверительного интервала для среднего значения Для вычисления доверительного интервала MS Excel служит специальная функция ДОВЕРИТ или инструмент Описательная статистика ДОВЕРИТ(альфа; станд_откл; размер) альфа – уровень значимости, используемый для вычисления доверительной вероятности; станд_откл – стандартное отклонение генеральной совокупности для интервала данных (предполагается известным или предварительно вычисляется); размер- размер выборки Пример. Найти границы 90% интервала для среднего значения, если по результатам 24 торгов среднее значение стоимости доллара составило 28 рублей, а стандартное отклонение – 35 копеек. актуализировано Мельников П. П. 23

24 Решение с использованием функции ДОВЕРИТ Получено значение 11,7 копеек. Таким образом, с 90% уровнем надежности можно утверждать, что средняя стоимость доллара лежит в диапазоне 27 р. 88 коп. – 28 р. 11 коп Пример. Дана выборка стоимости валюты: 27,70; 27,85; 28,12; 28,20; 28,10; 27,75; 28,25 (рублей). Необходимо определить границы 95% доверительного интервала для среднего актуализировано Мельников П. П. 24

25 Решение с помощью инструмента Описательная статистика В результате вычислений для доверительной вероятности 0,95 получим величину доверительного интервала – 0, Это означает, что с вероятностью 0,95 для генеральной совокупности среднее значение будет находиться в интервале 27, /- 0, актуализировано Мельников П. П. 25

26 Проверка соответствия теоретическому распределению с использованием критерия согласия хи-квадрат Проверка соответствия теоретическому распределению с использованием критерия согласия хи-квадрат В MS Excel критерий хи-квадрат реализован функцией ХИ2ТЕСТ. Эта функция вычисляет вероятность совпадения наблюдаемых (фактических) значений и теоретических (гипотетических) значений. Функция имеет параметры: ХИ2ТЕСТ(фактический_интервал; ожидае-мый_интервал), где фактический_интервал – диапазон данных, который содержит результаты наблюдения, подлежащие сравнению с ожидаемыми значениями; ожидаемый_интервал – диапазон данных, который содержит теоретические (ожидаемые) значения для соответствующих наблюдаемых. Для получения правильных результатов необходимо, чтобы объем выборки был не менее 40, выборочные данные сгруппированы в интервальный ряд с количеством интервалов не менее 7, а количество наблюдений в каждом интервале (частот) не менее 5 Пример. Проверить соответствие выборочных данных результатов сдачи экзаменов, оцененных в баллах: 48, 51, 67, 70, 64, 71, 85, 79, 80, 83, 86, 91, 99, 56, 66, 65, 84, 84, 84, 75, 76, 77, 78, 80, 86, 88, 58, 69, 65, 81, 75, 78, 85, 80, 80, 83, 86, 80, 89, 60, 68, 55, 82, 64, 71, 72, 72, 73, 74, 74, 79 нормальному закону распределения актуализировано Мельников П. П. 26

27 Решение. актуализировано Мельников П. П. 27

28 4. Решение задач дисперсионного анализа Методы дисперсионного анализа используются для оценки достоверности различий между несколькими группами наблюдений. Задача дисперсионного анализа заключается в исследовании воздействия на изменяемую случайную величину одного или нескольких независимых факторов, имеющих несколько градаций. В MS Excel для проведения однофакторного дисперсионного анализа применяется инструмент Однофакторный дисперсионный анализ, Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями и Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений. Пример. Необходимо выявить, влияет ли расстояние от центра города на степень заполняемости гостиниц. Пусть расстояние от центра разбито на 3 уровня: 1) до 3 км, 2) от 3 до 5 км, 3) более 5 км. актуализировано Мельников П. П. 28

29 Решение. актуализировано Мельников П. П. 29 В результирующей таблице на пересечении строки Между группами и столбца Р - значение находится величина 0, Величина Р – значение < 0,05. Следовательно критерий Фишера значим. Влияние фактора расстояния от центра города на заполняемость гостиниц доказано статистически.

30 5. Решение задач корреляционного анализа Одной из задач статистики является изучение связи между некоторыми наблюдаемыми переменными. Результаты, полученные при таком исследовании, позволяют прогнозировать развитие ситуации в случае изменения конкретных характеристик изучаемого объекта или процесса. Задача подобного исследования решается методами корреляционного анализа. Целью решения задачи является получение корреляционной матрицы. В MS Excel для целей корреляционного анализа служит инструмент Корреляция, который позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами. Корреляционная матрица – это квадратная таблица, на пересечении соответствующих строк и столбцов которой располагаются корреляционные коэффициенты. Пример. Есть статистические данные, регистрирующие количество выходных и праздничных дней в месяце в период с января по июнь и снимаемые со счетов суммы. Требуется определить существует ли корреляция между количеством выходных дней и снимаемыми со счетов суммами. актуализировано Мельников П. П. 30

31 Решение актуализировано Мельников П. П. 31 В треугольной матрице коэффициент корреляции между количеством выходных дней и суммами, снятыми со счетов равен r = 0,9166, т.е существует сильная прямая связь.

32 6. Технологии решения задач регрессионного анализа Регрессия позволяет проанализировать воздействие на какую-либо зависимую переменную одной или более независимых переменных и позволяет установить аналитическую форму (модель) этой зависимости. Если рассматривается зависимость между одной зависимой переменной Y и несколькими независимыми X 1, X 2, …, X n, то речь идет о множественной линейной регрессии. В этом случае уравнение регрессии имеет вид: Y = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+a n X n, где a 1, a 2, …, a n - коэффициенты при независимых переменных, которые нужно вычислить (коэффициенты регрессии), a 0 –константа. При построении регрессионной модели важнейшими моментами являются оценка ее адекватности (эффективности) и значимости, на основании которых можно судить о возможности применения в практике полученной модели. Мерой оценки адекватности регрессионной модели является коэффициент детерминации R 2 (R- квадрат), который определяет, с какой степенью точности полученное уравнение регрессии аппроксимирует исходные данные. Значимость регрессионной модели оценивается с помощью критерия Фишера (F – критерия). Если величина F – критерия значима (р < 0,05), то регрессионная модель является значимой. В MS Excel можно аппроксимировать экспериментальные данные линейным уравнением до 16 порядка: Y = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a 16 X 16. Для вычисления коэффициентов регрессии служит инструмент Регрессия. актуализировано Мельников П. П. 32

33 Пример. Имеются статистические данные о затратах, связанных с рекламой по телевидению, с рекламой в метро и объеме реализации продукции в рублях, приведенные в таблице. Требуется найти регрессионные коэффициенты для независимых переменных Затраты на рекламу по телевидению и Затраты на рекламу в метро на объем реализации продукции и построить уравнение регрессии. Решение актуализировано Мельников П. П. 33

34 . Коэффициент детерминации R – квадрат = 0,893 ( аппроксимация удовлетворительная). 2. Значимость F = 0,00762 (р < 0,05- регрессионная модель значима). 3. Y – пересечение a 0 =0. 4. a 1 = 5,478 – коэффициент при независимой переменной Затраты на рекламу по телевидению. 5. a 2 = 52,502 - коэффициент при независимой переменной Затраты на рекламу в метро. С учетом полученных данных уравнение регрессии будет иметь вид: Y= 5,478X ,502X 2, где Х 1 – величина затрат на рекламу по телевидению, Х 2 – величина затрат на рекламу в метро. актуализировано Мельников П. П. 34

35 Оптимизация портфеля ценных бумаг в среде MS Excel Месяц Курс А ,535,4231,4434,7433,440,9635,0135,89 Див. от А1,22,8648,223,944,960,0411,320,821,330,26 Курс В6664,19 61,3751,8865,8588,977,5756,6865,14 Див от В0,054,717,5356,9520,9634,50,0373,1212,714,59 Курс С4860,95 58,2350,3851,8772,1105,9573,1489,94 Див. от С19,4216,717,2447,112,2430,3250,8114,8425,225,59 актуализировано Мельников П. П. 35 Известно, что цена продажи акций A, B и C до начала предстоящего месяца составляет 34,30; 74,87; 107,00 руб. В распоряжении инвестора имеется капитал 73 тыс. руб. Инвестора интересует вопрос, акции какого эмитента и в каком количестве следует приобрести по сегодняшнему курсу продажи, чтобы с минимальным риском получить в предстоящем месяце доход от портфеля не менее 55,41% на вложенный капитал. Ретроспектива динамики курсов:

36 актуализировано Мельников П. П. 36 Технологическая последовательность компьютерного решения задачи 1.Экономико– статистический анализ данных a)Ввод данных на рабочий лист b)Расчет рядов эффективности ценных бумаг c)Расчет оценок средней эффективности по каждой бумаге d)Расчет отклонений эффективности каждой ЦБ от своего среднего e)Расчет ковариации 2.Составление математической модели оптимизации портфеля ценных бумаг 3.Формализация математической модели на рабочем листе 4.Составление компьютерного аналога математической модели с помощью инструмента Поиск решения и выполнение расчетов 5.Экономическая интерпретация результатов

37 актуализировано Мельников П. П. 37

38 актуализировано Мельников П. П. 38 Математическая модель инвестора Найти Х= (Х1, Х2, Х3); Z=0,1244X1X2+2*0,02X1X2+2*0,0123X1X3+0,1311X2X2+2*0,0056X2X3+0,1312X3X3 min При ограничениях: 0,1632X1+0,3734X2+0,5742X3=>0,5541; X1+X2+X3=0; X2>=0; X3>=0;

39 актуализировано Мельников П. П. 39 Составление компьютерного аналога математической модели с помощью инструмента Поиск решения и выполнение расчетов Вывод: инвестору следует вложить 10% капитала в акции эмитента В и 90% капитала – в акции эмитента С

40 8. Технологии решения задач финансовой математики в табличном процессоре Расчет наращенной суммы по простым процентам Под наращенной суммой ссуды (депозита, долга) понимается ее первоначальная сумма плюс начисленные на нее к концу срока проценты. Наращенная сумма вычисляется как последний элемент прогрессии, имеющей общий член P(1+ni), т.е. S = P(1+ni), где P – первоначальная сумма, n – количество периодов; i – ставка за период. Вычисление количества дней в периоде, заданном начальной и конечной датами Для вычисления количества дней между двумя датами служит функция: ДНЕЙ360 (Нач_дата; Кон_дата; Метод) актуализировано Мельников П. П. 40

41 Вычисления по простым переменным ставкам В течение расчетного периода процентные ставки могут дискретно изменяться во времени, при этом они остаются постоянными до следующего дискретного изменения. В этом случае формула для расчета наращенной суммы имеет вид: где Р – первоначальная сумма, it – ставка простых процентов в периоде с номером t=1…m; n t - продолжительность t периода начисления по ставке i t. Пример. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 8% годовых, а на каждый последующий на 0,5% меньше, чем в предыдущий. Определить сумму на счете в конце года Решение актуализировано Мельников П. П. 41

42 Расчет реинвестирования по простым процентам Сумма с начисленными на нее процентами может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N = Σ n i вычисляется по формуле где n i – продолжительности последовательности периодов реинвестирования; i t – ставки, по которым производится реинвестирование. Пример. На сумму ден.ед. начисляется 10% годовых. Проценты простые, точные. Вычислить сумму наращения к концу квартала, если реинвестирование производится ежемесячно в течение 1 квартала (в году 365 дней). Решение актуализировано Мельников П. П. 42

43 Дисконтирование в электронной таблице Операция дисконтирования заключается в вычислении исходной суммы Р при заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции. Начисления по процентам в виде разности D = S – P называют дисконтом (скидкой). Дисконтная сумма вычисляется по формуле P=S/(1 + n i ). Для дисконтирования в табличном процессоре есть специальная финансовая функция Пример Платежное обязательство уплатить через 60 дней руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов I = 15% годовых, было учтено за 10 дней до срока погашения по учетной ставке 10%. Вычислить сумму, получаемую при учете (число дней в году 365). Решение актуализировано Мельников П. П. 43

44 Вычисление наращения по сложным процентам Формула наращения для сложных процентов имеет вид S = P(1+i) n Где S – наращенная сумма; I – годовая ставка сложных процентов; n – срок ссуды (количество периодов). Для вычисления наращенной суммы в табличном процессоре есть специальная финансовая функция БС (Ставка; Кпер; Плт; Пс; Тип) Для решения обратных задач есть специальные функции: Ставка (Кпер; Плт; Пс; Бс; Тип) - вычисляет ставку; КПЕР(Ставка; Плт; Пс; Бс; Тип) – вычисляет количество периодов. Расчет номинальной и эффективной ставки процентов Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле S=P(1 + j/m) N, Где N – число периодов начисления, N=mn; j – номинальная годовая ставка сложных процентов; m – число начислений в году. Для вычисления эффективной ставки в табличном процессоре есть финансовая функция ЭФФЕКТ(Номинальная ставка; Количество периодов). Для вычисления номинальной ставки при заданной эффективной служит финансовая функция НОМИНАЛ(Эффективная ставка; Количество периодов). Для расчета наращенной суммы по номинальной процентной ставке можно использовать функцию табличного процессора БС. актуализировано Мельников П. П. 44

45 Расчет наращенной суммы при переменной процентной ставке Для вычисления в табличном процессоре наращенной суммы при переменной процентной ставке используется функция БЗРАСПИС (Первичное; План) Где Первичное – текущее значение инвестиций, План – массив применяемых процентных ставок. Пример. Клиент сделал вклад в банк в сумме 1 тыс. ден. ед. под 30% годовых сроком на 1 год. Процентная ставка в первом квартале составляла 30% годовых, в середине второго квартала она снизилась до 25%, в начале четвертого квартала снова возросла до 30%. Какую сумму клиент получит в конце года? Решение. актуализировано Мельников П. П. 45