П РАКТИЧЕСКИЙ СЕМИНАР ПОДГОТОВКИ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ М ОДУЛЬ «Г ЕОМЕТРИЯ » Составила учитель математики Максимова Т.М. МОУ Первомайская. - презентация

1 П РАКТИЧЕСКИЙ СЕМИНАР ПОДГОТОВКИ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ М ОДУЛЬ «Г ЕОМЕТРИЯ » Составила учитель математики Максимова Т.М. МОУ Первомайская СОШ

2 Треугольники Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площадь этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

3 Правильный треугольник Задание 1. Дан правильный треугольник со стороной 6. Найдите: 1) периметр; 2) высоту; 3) площадь; 4) радиус вписанной окружности; 5) длину вписанной окружности; 6) площадь вписанного круга; 7) радиус описанной окружности; 8) длину описанной окружности; 9) площадь описанного круга; 10) площадь четырёхугольника ОА 1 СВ 1. Решение. 1) Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: Р=6+6+6=18.

4 2)Все высоты в равностороннем треугольнике равны. Найдём, например, высоту ВВ 1 из треугольника АВВ 1. А В С В1В1 6 3 По теореме Пифагора: 3) Найдём площадь треугольника, зная длину стороны АС, и проведённую к ней высоту ВВ 1 :

5 4) В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают. Центром окружностей является точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Радиусом вписанной окружности является А В С В1В1 А1А1 О 6 3 5) Длина вписанной окружности С равна 2πr, где r=ОВ 1 =. С=2 π. 6) Площадь вписанного круга S равна πr², где r= ОВ 1 =. S= π( )²= 3π. 7) В равностороннем треугольнике центр описанной окружности – это точка пересечения медиан, биссектрис и высот, поэтому радиусом описанной окружности является ОВ= ВВ 1 = *3 =2

6 8) Длина описанной окружности С = 2πr, где R=OB= 2 C=4 π 9) Площадь описанного круга равна πR², поэтому S=π(2 )²=12π. 10) Медианы треугольника, пересекаясь, образуют шесть треугольников равных по площади, поэтому S OBC 1 = S ABC. Найдём площадь четырёхугольника ОА 1 СВ 1 : S OA 1 CB 1 = 2S OB 1 C = 2* S ABC = * 9 = 3 A B C A1A1 B1B1 C1C1

7 Углы при основании равнобедренного треугольника равны. В равнобедренном треугольнике три отрезка – высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию равны. Задание 2. Дан равнобедренный треугольник с основанием 16 и боковой стороной 10. Найдите: 1)площадь; 2) радиус описанной окружности; 3) радиус вписанной окружности; 4) определите вид угла А; 5) высоту, проведённую к боковой стороне; 6) медиану, проведённую к боковой стороне. Решение. 1)Проведём высоту АН к основанию ВС. Найдём АН по теореме Пифагора из треугольника АНС: АН= = = =6 S АВС = АН*ВС = * 6*16=48 В А С 10 16

8 Площадь треугольника можно найти и по формуле Герона. Периметр треугольника равен Р= =36, поэтому полупериметр равен18. S АВС = = = 6*8=48 2) Радиус описанной окружности R найдём, используя формулу для площади треугольника S=. Получим: R = = = = 8 3) Радиус вписанной окружности r найдём, используя формулу для площади треугольника S ABC = p*r, где p = = = 18 и S = 48 Имеем: r = = = 2 В А С Н 10 8

9 4) Найдём вид угла А. По теореме косинусов ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС*COS А, 16²=10²+10²-2*10*10*СОS А СOS A = = -0,28 Получили, что соs А

10 6) Найдём длину медианы ВМ, проведённой к стороне АС. Найдём COS АСВ из треугольника АСН: COS АСВ=0,8. По теореме косинусов ВМ²=ВС²+МС²-2ВС*МС*cos АСВ, ВМ²=16²+5²-2*16*5*0,8, ВМ²=153, ВМ= В А С М 5 16

11 Прямоугольный треугольник (a-катет, b-катет, с-гипотенуза) В прямоугольном треугольнике а²+ b²=c² (теорема Пифагора). Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R= Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

12 Задание 3. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите: 1) периметр; 2) площадь; 3) радиус описанного круга; 4) радиус вписанной окружности; 5) тригонометрические функции меньшего угла; 6) высоту, проведённую к гипотенузе; 7) медиану, проведённую к гипотенузе; 8) биссектрису большого угла. Решение 1)Найдём третью сторону (гипотенузу). По теореме Пифагора: АВ²=АС²+ВС²=8²+6²=64+36=100. АВ=10 Найдём периметр треугольника Р=6+8+10=24. 2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. S АВС = С А В 8 6

13 3) Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника является серединой гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R= 4) Радиус вписанной окружности r найдём, используя формулу для площади треугольника S АВС =p*r, где p=. Получим, r= 5) В исходном треугольнике меньшей стороной является катет ВС, поэтому меньшим углом треугольника является угол А. cos A=, sin A=, tg A=, сtg A= 6) Для нахождения высоты, проведённой к гипотенузе, выразим площадь треугольника через гипотенузу и высоту СН: S АВС =. Зная площадь найдём СН: СН= С А В Н 8 6

14 7) Так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то СМ= 8) Для нахождения длины биссектрисы CL прямого угла С, используем свойство биссектрисы угла треугольника: 3AL=4LB C другой стороны, AL+LB=10 Решим систему 3AL=4LB 3(10-LB)=4LB, 7LB=30 AL=10-LB; AL=10-LB; AL=10-LB. Получим AL= а BL= По теореме синусов из треугольника CLB: C A B L 8 6

15 Параллелограмм Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. S=ah a, S=ab sin(a,b), где a и b – смежные стороны параллелограмма, h a – высота, проведённая к стороне а. Задание 4. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 100°. Найдите углы параллелограмма. Решение. 1)Пусть меньший угол параллелограмма равен х, тогда большой угол равен 100°+х. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, в параллелограмме равна 180°, то х+100°+х=180° и х=40°. 2)Большой угол параллелограмма равен 140°. Ответ: 40° и 140°. А ВС D 100°+x х

16 Задание 5. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О и АВ=13, AD=14, BD=15. Найдите: 1)площадь; 2) площадь треугольника АВО; 3) высоты параллелограмма. Решение. 1)Параллелограмм разбивается диагональю ВD на два треугольника, равных по площади. Площадь треугольника АВD можно найти по формуле Герона или следующим образом. Рассмотрим треугольник АВD. Опустим высоту ВТ к сторонеAD. Введём обозначения АТ=х, ТD=14-х. С помощью теоремы Пифагора выразим высоту ВТ из двух полученных прямоугольных треугольников: ВТ²=169-х² и ВТ²=225-(14-х)². Составим равенство, найдём х, а затем и высоту ВТ. 169-х²=225-(14-х)², 28х=140, х=АТ=5. А ВС D O 13 14

17 Из треугольника АВТ найдём ВТ: ВТ²=169-25, ВТ=12 А В Т D 1315 x14-x Найдём площадь треугольника ABD: S ABD = Площадь параллелограмма ABCD равна ) Диагонали параллелограмма ABCD разбивают его на четыре равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника АВО в четыре раза меньше площади параллелограмма: S ABO =

18 3) Одна высота параллелограмма уже найдена: ВТ=12. Для нахождения другой высоты параллелограмма ВН, воспользуемся формулой площади параллелограмма, связанной с высотами. А ВС D H T S ABCD = BH*DC, 168=BH*13, ВН=12

19 Квадрат. Имеет все свойства прямоугольника. Стороны квадрата равны. Диагонали квадрата перпендикулярны и равны. Задание 6. В квадрате стороной 6 найдите: 1) диагональ; 2)радиус описанной окружности; 3) площадь описанного круга; 4) радиус вписанной окружности; 5) длину вписанной окружности. Решение. 1)Диагональ квадрата найдём из треугольника ABD по теореме Пифагора: BD²=AB²+AD², BD²=6²+6², BD= =6 2) В квадрате центры описанной и вписанной окружностей совпадают с точкой пересечения диагоналей. Радиус описанной окружности R равен половине диагонали: R= A BC D 6 A BC D O 6

20 3) Найдём площадь описанного круга: S= πr²=π*(3 )²= 18π. 4) Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: r= 5) Найдём длину вписанной окружности С=2 π r=2 π *3=6 π.

21 Трапеция S=, где a и b – основания трапеции, h – её высота. Средняя линяя трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

22 Дана трапеция ABCD c основаниями AD=16, BC=2. Боковые стороны трапеции равны 13 и 15. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите: 1) среднюю линию трапеции; 2) высоту; 3) площадь. А В D C E Решение. 1)Средняя линия трапеции (L) равна полусумме оснований трапеции: L= 2) Чтобы найти высоту исходной неравнобедренной трапеции, используем дополнительное построение: проведём отрезок BN, параллельный CD. Отрезок BN разбивает трапецию на две части: BCDN и треугольник ABN. Высота треугольника ABN, опущенная из вершины В, равна высоте исходной трапеции.

23 A BC DNH Найдём высоту треугольника ABN. A B NH x 14-x 1513 Из треугольника АВН по теореме Пифагора ВН²=13²-х². Из треугольника BHN по теореме Пифагора ВН²=15²-(14-х)². 15²-(14-х)²=13²-х², х=5 и ВН=12. Найдём площадь трапеции: S АВСD = *BN=9*12=108

24 Вписанные углы. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой. Задание 7. Центральный угол MON на 50° больше вписанного угла, опирающегося на дугу MN. Найдите каждый из этих углов.

25 М А N O Решение. Вписанный угол MAN и центральный MON угол опираются на одну и ту же дугу MN, поэтому MAN= MON. По условию MON= MAN+50°. Получим, что MON = MON+50°, значит, MON=100° и MAN=50°

26

27

28

29

30 Литература 1)Подготовка к ГИА 9 класс, 2013г. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина 2)Тематические тренировочные задания 2013г. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. 3)Тренировочные задания 2013г. Т.А Корешкова, В.В.Мирошин, Н.В Шевелева. 4)Ященко и др. Три модуля 2013г.