Предел функции в точке. Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но. - презентация

1 Предел функции в точке

2 Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке. Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

3 Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, не существует, функция в указанной точке не определена.

4 Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, существует, но оно отличное от, казалось бы, естественного значения точкакак бы выколота.

5 Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, существует и оно вполне естественное.

6 Для всех трех случаев используется одна и та же запись: которую читают: «предел функциипри стремлении к равен ». Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки справедливо приближенное равенство: При этом сама точкаисключается из рассмотрения.

7 Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке, то в таком случае функцию называют непрерывной. График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков».

8 Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются: Функция непрерывна на луче а функция непрерывна на промежутках А функции непрерывны на каждом промежутке из области их определения.

9 Математики доказали утверждение, которое мы будем использовать при вычислении пределов функции в точке: Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в любой точке, в которой определено выражение

10 Примеры Вычислить: Решение. Выражение определено в любой точке в частности, в точке Следовательно, функция непрерывна в точке а потому предел функции при стремлении к равен значению функции в точке Имеем:

11 Решение. Выражение определено в любой точке В частности, в точке Следовательно, функция непрерывна в точке а потому предел функции при стремлении к равен значению функции в точке Имеем: за исключением и функция определена.

12 Решение. Выражение не определено в точке Однако, заданную алгебраическую дробь можно сократить Но при вычислении предела функции при поскольку при подстановке этого значения переменной в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Значит, функции и тождественны при условии саму точку можно исключить из рассмотрения (об этом говорилось выше). Поэтому:

13 Первый замечательный предел В математике есть пределы, вычисление которых довольно громоздко, поэтому некоторые пределы берут как табличные. Рассмотрим один из таких пределов.

14 Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое отметим на окружности точку и её ординату, т. е. - это длина дуги - это 0 х У P M A длина перпендикуляра Для достаточно малых значений выполняется равенство т. е. и, следовательно, Например, Так вот, в математике доказано, что

15 Практические задания Выполни из предлагаемого задачника следующие упражнения: 678; 679(а, б); 680(а, б);681(б, г); 682 (а, б); 683(а, б); 684(а, б); 686.