Общая схема исследования функции и построения графика. - презентация

1 Общая схема исследования функции и построения графика

2 Исследование функции y= f(x) целесообразно вести в определенной последовательности:

3 1.Найти область определения функции 2.Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат 3.Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x) 0 или f(x)

4 5.Найти асимптоты графика функции 6.Найти интервалы монотонности функции 7.Найти экстремумы функции 8.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

5 Пример Необходимо исследовать эту функцию и построить ее график Дана функция

6 Решение 1. Найти область определения функции Функция не определена при x = 1 и x = -1. Область ее определения состоит из трех интервалов (-; -1), (-1; 1), (1; +), а график из трех ветвей.

7 2. Найти (если это можно) точки пересечения графика функции с осями координат Е сли x = 0, то y = 0. График пересекает ось Oy в точке O(0;0). Если y = 0, то x = 0. График пересекает ось Ox в точке O(0;0).

8 3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x) 0 или f(x)0) на интервалах (-; -1) и (0; 1). Функция знакоотрицательна (y

9 4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида Функция является нечетной, т.к. Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при x 0

10 5. Найти асимптоты графика функции Прямые x = 1 и x x x x = -1 являются ее вертикальными асимптотами. Прямая у = 0 я я я является ее горизонтальной асимптотой.

11 6. Найти интервалы монотонности функции Находим интервалы возрастания и убывания функции. Т.к., то > > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

12 7. Найти экстремумы функции Находим интервалы возрастания и убывания функции. Т.к., то критическими точками являются точки x1 = 1 и x2 = -1 ( не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

13 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции Исследуем функцию на выпуклость. Находим :

14 Вторая производная равна нулю или не существует в точках x1 = 0, x2 = -1 и x3 = 1. Точка О(0; 0) – точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах (-1; 0) и (1; +); выпуклый вниз на интервалах (-; -1) и (0; 1).

15 График функции