Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения. - презентация

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

2 Общие понятия Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое наряду с неизвестной функцией входит и ее производная. Если искомая функция зависит от одного переменного, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Произвольное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид F(x, y, y, y, …, y (n) )=0.

3 Общие понятия Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y(x), y(x), …, y (n) (x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида y (n) +p n-1 y (n-1) +…+p 1 y+p 0 y=f(x), (1) (a

4 Линейные уравнения Если f(x)0, то уравнение называют однородным дифференциальным уравнением n-го порядка. В связи с этим уравнение (1) называется неоднородным. Если y 1, …, y m являются решениями однородного уравнения, то их линейная комбинация также является решением уравнения. Система из n линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения n- го порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

5 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами? Запишите в общем виде линейное однородное уравнение 5-го порядка с постоянным коэффициентами. Что называют характеристическим уравнением? Как выглядит общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения различны? Каким будет общее решение дифференциального уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни? Запишите в общем виде решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами 5-го порядка, если среди корней характеристического уравнения есть корень кратности 3?

6 Решите уравнения y-5y+6y=0 y-2y-y+2y=0 y+y=0 y+y+y=0 y-2y+y=0 y+3y+3y+y=0 y (4) +2y+y=0