Основы механики жидкостей и газов. Максвелловское распределение молекул по их скоростям и энергиям 1) Возьмем идеальный газ. В результате столкновений. - презентация

1 Основы механики жидкостей и газов

2 Максвелловское распределение молекул по их скоростям и энергиям 1) Возьмем идеальный газ. В результате столкновений молекул газа, их скорости все время изменяются, но в газе создается некоторое стационарное распределение молекул по их скоростям. Пусть температура газа T = 300K. Интервал скоростей Доля молекул, имеющих скорости в заданном интервале Эта таблица называется - распределением молекул по скоростям. Из этого распределения видно, что существует какая-то наиболее вероятная скорость

3 2) Максвелл в 1860 г. получил формулу, которая описывает распределение молекул по скоростям: Максвелловское распределение молекул по их скоростям где n – число молекул в единице объема, dn – число молекул в единице объема, имеющих скорость в интервале от v до v + dv, m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, T – температура. 3) Построим кривые Максвелла для двух температур ( ). Физический смысл кривой Максвелла: - число молекул, имеющих скорости в единичном интервале скоростей. Возьмем узкую полоску, которую можно считать прямоугольной. Ее площадь равна :. Тогда площадь под всей кривой Максвелла равна n.

4 4) Для того, чтобы придать вероятностный характер распределению Максвелла, введем новую функцию : - функция распределения Максвелла молекул по их скоростям. График этой функции имеет аналогичный вид, но теперь площадь под кривой равна 1. - имеет смысл вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от до. Согласно определению функции имеем откуда видно, что - плотность вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от до. Это очень важная величина в теории вероятности, позволяющая вычислять среднее значение любой физической величины, являющейся функцией скорости

5 5) От распределения молекул по скоростям можно перейти к распределению молекул по их кинетической энергии. Для этого надо в распределении молекул по скоростям выразить и через и. Производя вычисления, получим Максвелловское распределение молекул по их кинетическим энергиям. Аналогично вводится : - функция распределения Максвелла молекул по их энергиям

6 Характерные скорости молекул идеального газа. 1) - наиболее вероятная скорость молекул Это скорость молекул, при которой функция распределения имеет максимум. Возьмем производную от, и приравняв ее нулю, получим уравнение для нахождения : - наиболее вероятная скорость молекул 2) - средняя квадратичная скорость молекул. Для нахождения можно воспользоваться выражением для средней кинетической энергии поступательного движения молекул или вычислить интеграл - средняя квадратичная скорость молекул

7 3) - средняя арифметическая скорость молекул. - средняя арифметическая скорость молекул Воспользовавшись соотношением, формулы для характерных скоростей молекул можно представить в виде - наиболее вероятная скорость молекул, - средняя квадратичная скорость молекул, - средняя арифметическая скорость молекул

8 Распределение Больцмана молекул по их потенциальным энергиям Если газ находится во внешнем силовом поле, то частицы газа обладают потенциальной энергией п. Рассмотрим распределение молекул идеального газа по высоте в однородном гравитационном поле. В этом случае для газа имеет место барометрическая формула:, где - давление газа на поверхности Земли, - давление газа на высоте h. С учетом того, что получим распределение молекул по высоте в однородном гравитационном поле:. Больцман показал, что полученное распределение применимо к идеальному газу, находящемуся в любом силовом поле: - распределение Больцмана молекул по их потенциальным энергиям

9 Если идеальный газ находится в силовом поле, то реализуются, вообще говоря, оба распределения: распределение Максвелла молекул по их кинетическим энергиям и распределение Больцмана молекул по их потенциальным энергиям. Для этого надо объединить оба распределения: - распределение Максвелла, - распределение Больцмана, В результате получим распределение Максвелла-Больцмана.

10 ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

11 Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушении равновесия, носит название физической кинетики. При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное состояние. При нарушениях равновесия в телах возникают потоки тепла, либо массы, электрического заряда и т.п. В связи с этим соответствующие процессы носят название явлений переноса. Причиной любого явления переноса является наличие градиента некоторой физической величины. Мы рассмотрим три явления переноса в газах – теплопроводность, диффузию и внутреннее трение или вязкость. Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

12 . Поместим мысленно центр одной из молекул в начало координат, а центр второй молекулы представим перемещающимся по оси r. Пусть вторая молекула летит по направлению к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетической энергии к= 1. Приближаясь к первой молекуле, вторая молекула под действием силы притяжения движется со всёвозрастающей скоростью. В результате кинетическая энергия к молекулы растёт, а потенциальная п одновременно уменьшается, но их сумма = к+ п = const остаётся неизменной. При прохождении молекулой точки с координатой ro силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начнёт быстро терять скорость (в области отталкивания кривая п идёт круто вверх). В момент, когда потенциальная энергия п становится равной полной энергии системы 1, скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом. После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности. Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Величина = d2 называется эффективным сечением молекулы. Как видно из рисунка, эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул уменьшается.

13 Длина свободного пробега молекулы – это путь l, который молекула проходит между двумя последовательными соударениями. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости. Если за секунду она претерпевает в среднем z столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна За секунду молекула проходит путь, равный. Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины и радиуса d. Относительная скорость движения двух произвольно взятых молекул равна Возведя в квадрат это выражение, получим

14 Тогда, для среднего числа столкновений за секунду получим выражение а для средней длины свободного пробега следующую формулу Если концентрацию газа определить из соотношения P = nkT, получим другую формулу для средней длины свободного пробега

15 Теплопроводность газов Рассмотрим газ, в котором каким-то способом поддерживается непостоянство температуры вдоль направления, которое мы обозначим буквой x. Представим мысленно площадку площадью S, перпендикулярную к этому направлению. В этом случае через площадку S возникает поток тепла, величина которого определяется формулой: где - градиент температуры, т.е. величина, показывающая, как быстро изменяется температура в направлении оси х, (каппа) – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды и называемый коэффициентом теплопроводности. Знак минус в формуле отражает то обстоятельство, что тепло течёт в направлении убывания температуры. Эта формула называется уравнением теплопроводности или законом Фурье. Выражение для коэффициента теплопроводности через молекулярно-кинетические параметры газа:

16 Диффузия в газах Предположим, что в единице объёма двухкомпонентной газовой смеси содержится n1 молекул одного вида и n2 молекул другого вида. Полное число молекул в единице объёма равно n = n1 + n2. Допустим, что в направлении оси х создаются градиенты концентраций причём. Тогда,, так что n, а, следовательно, и Р постоянны (в силу Р = nkT). В этом случае газодинамических потоков не возникает. Однако вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания её концентрации. Этот процесс носит название диффузии. Диффузия наблюдается так же в жидких и твёрдых телах. Поток молекул i – го вида через перпендикулярную к оси х поверхность S определяется выражением где D – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии. Знак минус указывает на то, что поток молекул направлен в сторону убывания концентрации. Умножив обе части этого равенства на массу молекулы i – го вида mi, получим выражение для потока массы i – ой компоненты: Эти формулы представляют собой эмпирические уравнения диффузии. Их называют уравнением Фика.

17 Вязкость газов Сила трения между двумя слоями жидкости может быть вычислена по формуле где - коэффициент вязкости, - градиент скорости, т.е. величина, показывающая, как быстро изменяется скорость жидкости или газа в направлении х, перпендикулярном к направлению движения слоёв, S – величина поверхности, по которой действует сила F. Это уравнение и есть эмпирическое уравнение вязкости. Согласно второму закону Ньютона, взаимодействие двух слоёв с силой F можно рассматривать как процесс, в ходе которого от одного слоя к другому передаётся в единицу времени импульс, по величине равный F. Поэтому уравнение вязкости можно представить в виде где К- импульс, передаваемый за секунду от слоя к слою через поверхность S. Следовательно, величину К можно рассматривать как поток импульса через поверхность S. Знак минус в этой формуле обусловлен тем обстоятельством, что импульс течёт в направлении убывания скорости u. коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально.