РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ГОРОДСКАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ, - презентация

1 РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ГОРОДСКАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ, ЮНИОР» Признаки делимости целых чисел Автор: Левченко Ростислав, учащийся 5А класса Руководитель: Моисеева Галина Николаевна, учитель математики высшей квалификационной категории

2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Исторические сведения Признаки делимости на целые числа (широко известные) Признаки делимости на целые числа (известные не всем школьникам) Практическое применение признаков делимости Заключение Используемые источники Приложения

3 Да, много решено загадок От прадеда и до отца И нам с тобой продолжить надо Тропу, которой нет конца. В. Ноздрев

4 Объект исследования – числа и действия с ними Предмет исследования – признаки делимости целых чисел Гипотеза: если мы можем без труда определить признаки делимости на 2, на 5, на 10, то возможно существуют признаки делимости на 7, 11, 13, 6, 12, 15,25,50 и т. д. Актуальность состоит в рассмотрении признаков деления, которые изучают в школе и те которые не предусматриваются школьной программой. Надеюсь, люди, которые будут читать эту работу, узнают для себя много нового, как и я. Цель работы: Овладеть признаками делимости чисел, изучаемых на уроках математики и вне школьной программы. Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи: изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел»; расширить и углубить свои знания по этой теме; выяснить, когда у людей возникла проблема деления чисел нацело; кто из учёных первыми сформулировали признаки делимости; рассмотреть решения задач на применение признаков делимости чисел; подобрать серию задач, связанных с признаками делимости чисел для самостоятельного решения. Методы исследования: в работе применялись теоретические методы: анализ, синтез, сравнение, наблюдение и реферирование, анкетирование, интервью с людьми различных профессий так же использовался поиск в сети Интернет. Основными источниками являлись «Энциклопедический словарь юного математика», «Математический энциклопедический словарь» и «Математическая энциклопедия».

5 Признаки делимости широко известные школьникам

6 Признаки делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. Например: делится на 2, так как его последняя цифра 8 – четная.

7 Признаки делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например: делится на 3, так как сумма его цифр =15 делится на 3.

8 Признаки делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5). Например: делится на 5,так как последняя его цифра 0.

9 Признаки делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например: делится на 9,так как =27 делится на 9.

10 Признаки делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль. Например: делится на 10, так как последняя его цифра 0.

11 Признаки делимости на целые числа (известные не всем школьникам)

12 Признаки делимости на 4 Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр делится на 4. Например: делится на 4,так как последние две его цифры 12 делятся на 4.

13 Признаки делимости на 6 Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Например: делится на 6,так как оно четное ( значит делится на 2) и сумма цифр = 18 (значит делится на 3 ).

14 Признаки делимости на 7 Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Например: 364 делится на 7, так как 36 (2 × 4) = 28 делится на 7.

15 Признаки делимости на 8 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули, или образуют число, которое делится на 8. Например: делится на 8, так как последние три цифры 800 делятся на 8.

16 Признаки делимости на 11 На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11. Например: число делится на 11, так как сумма цифр, занимающих четные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих нечетные места 0+7+5=12

17 Признаки делимости на 12 Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Например: делится на 12, так как последние две цифры 20 ( значит делится на 4) и сумма цифр = 33 (значит делится на 3).

18 Признаки делимости на 13 Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13. Например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.

19 Признаки делимости на 14 Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Например: делится на 14, так как оно четное ( значит делится на 2) и 947 – 632 = 315 делится на 7.

20 Признаки делимости на 15 Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5. Например: делится на 15,так как последняя цифра 0 (значит делится на 5) и сумма цифр = 33 (значит делится на 3).

21 Признаки делимости на 17 Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Например: = = = =34. Поскольку 34 делится на 17, то и делится на 17.

22 Признаки делимости на 19 Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Например: 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19.

23 Признаки делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23. Например: делится на 23, так как (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 очевидно, делится на 23.

24 Признаки делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (т. е. последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75). Например: делится на 25,так как последние две цифры 50 делятся на 25

25 Признаки делимости на 50 Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число оканчивается на 00 или 50. Например: делится на 50, так как последние две цифры 50.

26 Признаки делимости на 99 Число делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99. Например: делится на 99, так как сумма цифр = 198 делится на 99.

27 Признаки делимости на 101 Число делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, делится на 101, так как =101 делится на 101.

28 Признаки делимости на 125 На 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 125. Например: число делится на 125, так как последние три цифры числа 250 делятся на 125.

29 Практическая работа

30 1. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Решение: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Ответ: это можно сделать шестью способами: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

31 2.Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24? Решение: Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24. Ответ: нет.

32 3. Не производя вычислений, определите, значение какого выражения делится на 2, на 7, на 10:а) ; б) ; в) Решение. Рассмотрим первое выражение. Сумма трех нечетных слагаемых - нечетное число, т.е. на 2 не делится. Все слагаемые делятся на 7, значит, сумма делится на 7. Последняя цифра суммы равна 7 (9+1+7 =17), т.е. на 10 не делится. Рассмотрим второе выражение. Второй множитель делится и на 2 и на 10, значит, и все произведение будет делиться на 2 и на 10. Ни один из множителей не делится на 7, значит, и произведение не делится на 7 (так как 7 – простое число). Рассмотрим третье выражение. Первое произведение делится и на 2, и на 7, и на 10. Очевидно, что второе произведение делится на 2 и не делится на 7, значит, и сумма делится на 2 и не делится на 7. Заметим, что последняя цифра произведения не может равняться 0, значит, оно не делится на 10, и сумма тоже не будет делиться на 10. Ответ: на 2 делятся значения выражений б) и в); на 7 - а); на 10 - б).

33 4. Преподаватели 6, 7 и 8 классов выстраивали детей на линейку. Когда детей попытались выстроить в четыре ряда, то осталось три бесхозных ребенка; когда выстраивали их по пять, оставалось – четыре; выстроив по шесть, остались – пять; и только, когда преподаватели додумались расставить их по семь, им это удалось. Сколько школьников получит наряд за опоздание на линейку, если известно, что в 6, 7 и 8 классах 150 учеников? Решение. Число детей, пришедших на линейку кратно 7, но не кратно 4, 5, 6. Проверяем числа, удовлетворяющие этим условиям и меньшие 150. Таких чисел: 7, 14, 21, 49, 63, 77, 91, 98, 119, 133, 147 (числа находим, умножая последовательно 7 на числа не кратные 4, 5, 6). Проверив, какие остатки остаются при делении на 4, 5, 6 находим, что на линейке было 119 детей. Значит, наряд за опоздание на линейку получит 31 ученик. Ответ: 31 ученик.

34 5. (из древнего трактата «Математика в девяти книгах») Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если (каждый) человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи. Решение. Пусть было х людей. Тогда стоимость вещи равна 8х -3 или 7х + 4. Решим уравнение: 8х -3 = 7х + 4, х = – 3 = 53. Было 7 человек, а стоимость вещи равна 53. Ответ: 7 человек, стоимость равна 53.

35 Заключение Кто хочет ограничиться настоящим без знаний прошлого, тот никогда его не поймет. Г. Лейбниц

36 Источники 1. Режим доступа: Режим доступа: Режим доступа: Математический портал Математику.ру 5. Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А. П. Савин.- М.: Педагогика, – 352 с.: ил. 6. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т.5. Слу – Я – М., «Советская энциклопедия», – 1248 стб., ил. 7. Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н.С.Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. - М.: Сов. Энциклопедия, с., ил. 8. Математический портал Математику.ру

37 Спасибо за внимание