Теоремы сложения и умножения вероятностей План лекции 1.Теорема сложения вероятностей. Сумма вероятностей противоположных событий. 2.Условная вероятность. - презентация

1 Теоремы сложения и умножения вероятностей План лекции 1.Теорема сложения вероятностей. Сумма вероятностей противоположных событий. 2.Условная вероятность. 3.Теорема произведения вероятностей. 4. Решение задач на вычисление вероятностей.

2 Теорема сложения вероятностей Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Док-во: Пусть из серии N опытов событие А появилось М 1 раз, а событие В –М 2 раз. Р(А)=М1/N, Р(В)=М2/N, Р(А+В)=(М 1+ М 2 )/N =Р(А)+Р(В) Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

3 Пример 1. На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15- второй и 10 третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.

4 Указания к решению а)Определите, о каких событиях идёт речь? б)Совместны ли данные события? в)Обозначьте вероятность каждого события г)Вычислите вероятность наступления каждого события по классической вероятности д) примените теорему сложения вероятностей

5 Проверка Р(А)-вероятность поступления детали, изготовленной первой бригадой. Р(В)-вероятность поступления детали, изготовленной второй бригадой. Р(С)-вероятность поступления детали, изготовленной третьей бригадой. Р(А)=25/50=1/2, Р(В)=15/50=3/10, Р(С)=10/50=1/5 Р(В+С)= 3/10 +1/5=1/2

6 Условная вероятность Вероятность наступления одного события А при условии наступления другого события В называется условной вероятностью. Р(АıВ) Если в результате серии N опытов событие А появилось М1 раз, а событие В – М2 раз, причём к раз из них (КМ2) события А и В появились вместе, то Р(А) = М1/N, Р(В) = М2/N, Р(АıВ)=К/М2, Р(ВıА)=К/М1

7 Теорема произведения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)Р(ВıА)= Р(В)Р(АıВ) Док-во: пусть в результате серии из N опытов событие А появилось М 1 раз и событие В – М 2 раз, К-раз события А и В появились вместе. Р(А)=М1/N, Р(В)=М2/N, Р(АВ)=К/N, Р(АıВ)=К/М2, Р(ВıА)= К/М1 Р(АВ)= К/N = М1/N* К/М1= М2/N* К/М2 Р(АВ)=Р(А)Р(ВıА)=Р(В)Р(АıВ) Если события несовместные, то Р(ВıА)=Р(АıВ)=0

8 Следствия Событие А не зависит от события В, то справедливо равенство Р(АıВ)=Р(А) Р(АВ)=Р(А)Р(В)

9 Пример 2. На предприятии 96% изделий признаются пригодными к использованию, а остальные – бракованными. Из каждой сотни пригодных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта.

10 Указания к решению Обозначьте события которые являются годными, первого сорта. Определите искомую величину Вычислите вероятность того, что изделие пригодно к использованию Вычислите условную вероятность Воспользуйтесь теоремой о произведении вероятностей(либо следствием)

11 Проверка А – событие, что изделие годно к использованию, В – изделие первого сорта Найти Р (АВ) Р(А)=0,96, Р(ВıА)=0,75 Р(АВ) = 0,96*0,75=0,72

12