Урок 11 Смежные и вертикальные углы. Определение. В определении смежных углов содержатся три условия: 1)угла – два; 2)есть общая сторона; 3)две другие. - презентация

1 Урок 11 Смежные и вертикальные углы

2 Определение. В определении смежных углов содержатся три условия: 1)угла – два; 2)есть общая сторона; 3)две другие стороны – дополнительные лучи.

3 Проведем луч OD Являются ли смежными углы: а) AOD и BOD; б) AOС и DOС; в) AOС и DOВ; г) AOС, DOС и BOD?

4 Дан произвольный (аb), отличный от развернутого. Сколько существует углов, смежных с ним? a b c d d

5 Теорема. Сумма смежных углов равна ) Так как AOC и BOC – смежные, то лучи ОА и ОВ – дополнительные, то есть, AOB – развернутый, следовательно, AOB = ) [OC) проходит между сторонами AOB, значит, AOC + BOC = AOB = 180, Дано: AOC и BOC – смежные. Доказать: AOC + BOC = 180 Доказательство. Перечислите определения и аксиомы, которые использованы при доказательстве теоремы, и укажите, где именно.

6 1) Углы, смежные равным углам, равны между собой. 2) Угол, смежный прямому углу – прямой, смежный острому – тупой, смежный тупому – острый. А смежный развернутому? Следствия из теоремы

7 Пусть x – коэффициент пропорциональности, тогда, BOC = 11x ; AOC = 25x. Так как AOC + BOC = 180, то 11x + 25x = 180; 36x = 180; x = 5. Следовательно, BOC = 55 ; AOC = 125. Дано: AOC и BOC – смежные; BOC : AOC = 11 : 25. Найти: AOC; BOC. Решение. A O C B

8 Сформулируйте утверждение, обратное теореме о смежных углах. Верно ли оно? Станет ли оно верным, если добавить, что у данных углов есть общая сторона? Что еще необходимо добавить в условие, чтобы оно стало верным?

9 Вертикальные углы

10 Теорема. Вертикальные углы равны. Дано: AOB и COD – вертикальные. Доказать: AOB = COD. Так как AOB и COD – вертикальные, то [OB) и [OD) – дополнительные, следовательно, AOB и AOD – смежные. Аналогично, COD и AOD – смежные. По свойству смежных углов: AOB + AOD = 180 и COD + AOD = 180. Имеем: AOB = 180 – AOD и COD = 180 – AOD, значит, AOB = COD Доказательство.

11 Сформулируйте утверждение, обратное свойству вертикальных углов. Верно ли оно?

12 Сумма трех углов (отличных от развернутого), образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 205. Найдите эти углы Из трех данных углов два являются смежными, например, POK и POM. POK + POM = 180, значит, NOM = 205 – 180 = 25. POK = NOM = 25, так как эти углы – вертикальные. POM = 180 – POK = 155. Ответ: два угла по 25 и один – 155. Дано: (МК) (PN) = O; POK + POM + NOM = 205. Найти: РOK; POM; NOM. Решение.