Общие методы решения уравнений. 11 класс - презентация

1 1 Когда обязательна проверка всех найденных корней? а). Если произошло расширение области определения уравнения 1) нет 2) да 3) сомневаюсь в ответе б). Если обе части уравнения возвели в одну и ту же нечётную степень 1) сомневаюсь в ответе 2) да 3) нет в). Если какой-либо член уравнения перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком 1) сомневаюсь в ответе 2) да 3) нет г). Если умножили обе части уравнения на одно и тоже выражение с переменной 1) да 2) нет 3) сомневаюсь в ответе д). Если от показательного уравнения а f(x) =a g (x) (где a>0,a1) перешли к уравнению f(x)=g(x) 1) сомневаюсь в ответе 2) нет 3) да е) Если обе части уравнения возвели в одну и ту же чётную степень 1) нет 2) да 3) сомневаюсь в ответе

2 2 lgx 2 = 4 Какой способ верный и почему? В чём ошибка? 1 способ х 2 = 10 4, х 1,2 =±, х 1 = -100, х 2 = способ 2lgx = 4, lgx = 2, х = 100 log 3 (2x+3)-log 3 (x-1)=0, log 3 (2x+3)=log 3 (x-1), 2х+3 = х-1, х=-4 ОДЗ: 2х>-3, х>-1,5 х-1 > 0, х> посторонний корень Ответ: нет корней

3 3 Неправильная формула- приведёт к ошибке!

4 4 По какому признаку разбили уравнения на группы? 3 2x – 4 = 1 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 4·cos x = 4 - sin²x 8Х 6 – 7х 3 -1 = 0 Sin2x = Sinx 3 х х = 90 lg 2 (x+1)+1g(x+3)·lg(x+1)=0 Х 3 – 9х х = 0

5 5 Общие методы решения уравнений «Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на различных примерах». Датский историк математики Г. Г. Цейтен

6 6 Общие методы решения уравнений Общие методы решения уравнений Суть метода Уравнение f(x )= g(x) Нужно построить графики функций у=f(x ), у=g(x) и найти координаты точек их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек Если, например одна из функций у=f(x ), у=g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x )= g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень ( который можно угадать) Если уравнение у=f(x) преобразовали к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений g(u)=u 1 ; g(u)=u 2 ;…,g(u)=u n где u 1, …,u n корни p(u)=0 Можно применять только в том случае, когда у = h(x )- монотонная функция (которая каждое своё значение принимает по одному разу) При решении уравнений показательных (переход от а f(x) =a g(x) (a>0,a1) к f(x)=g(x)) логарифмических (от log а f(x)= log а g(x) к f(x)=g(x)) иррациональных (от к f(x)=g(x)) Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно записать совокупностью уравнений f (x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Выбираем те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения. 1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 2. Метод разложения на множители 3. Метод введения новой переменной 4. Функционально- графический метод

7 7 По какому признаку разбили уравнения на группы? 3 2x – 4 = 1 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 4·cos x = 4 - sin²x 8Х 6 – 7х 3 -1 = 0 Sin2x = Sinx 3 х х = 90 lg 2 (x+1)+1g(x+3)·lg(x+1)=0 Х 3 – 9х х = 0

8 8 Всегда ли можно применять метод: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x)? Можно ли от уравнения Sin2x=Sinx перейти к уравнению 2х=х с единственным корнем х.=0?

9 9 Решить уравнение Решить уравнение: = 3 - х Х=

10 10 Общие методы решения уравнений Общие методы решения уравнений Суть метода Уравнение f(x )= g(x) Нужно построить графики функций у=f(x ), у=g(x) и найти координаты точек их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек Если, например одна из функций у=f(x ), у=g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x )= g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень ( который можно угадать) Если уравнение у=f(x) преобразовали к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений g(u)=u 1 ; g(u)=u 2 ;…,g(u)=u n где u 1, …,u n корни p(u)=0 Можно применять только в том случае, когда у = h(x )- монотонная функция (которая каждое своё значение принимает по одному разу) При решении уравнений показательных (переход от а f(x) =a g(x) (a>0,a1) к f(x)=g(x)) логарифмических (от log а f(x)= log а g(x) к f(x)=g(x)) иррациональных (от к f(x)=g(x)) Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно записать совокупностью уравнений f (x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Выбираем те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения. 1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 2. Метод разложения на множители 3. Метод введения новой переменной 4. Функционально- графический метод

11 11 По какому признаку разбили уравнения на группы? 3 2x – 4 = 1 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 4·cos x = 4 - sin²x 8Х 6 – 7х 3 -1 = 0 Sin2x = Sinx 3 х х = 90 lg 2 (x+1)+1g(x+3)·lg(x+1)=0 Х 3 – 9х х = 0 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) Метод введения новой переменной Метод разложения на множители

12 12 Решить уравнение ИррациональноеПоказательноеЛогарифмическое Проверка: ОДЗ исходного уравнения является система неравенств х = 9 є ОДЗ - корень уравнения, остальные посторонние для данного уравнения Ответ: х = 9 ln(x-8) = 0

13 13, n – номер пальца Sin 0 0 = = 0 Sin 30 0 = = Sin 45 0 = Sin 60 0 = Sin 90 0 = = = ct g

14 14 Решить уравнение: Log 2 (x+1)+ Log 2 (x+3)=3 Решение: Используя свойство логарифма, получаем: Log 2 (x+1)(x+3)=3 Из этого равенства по определению логарифма получаем: (x+1)(x+3)=8. Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x 2 +4x-5=0, откуда x 1 =1, x 2 =-5 При X 2 =-5 числа (x+1 и x+3)

15 15 Метод разложения на множители х³ - 3х² - 4х + 12 = 0 х² (х - 3) - 4(х - 3) = 0 (х - 3)(х² - 4) = 0 (х - 3)(х - 2)(х + 2) = 0 х 1 = 3, х 2 = 2, х 3 = -2 Ответ:-2; 2; 3 С А М О П Р О В Е Р К А 2 уровень

16 16 Метод введения новой переменной Решите уравнение 4 x + 2 x+1 – 24 = 0. Заметим, что 4 x = (2 2 ) x = (2 x ) 2, тогда данное уравнение можно записать так: (2 x ) 2 + 2·2 x -24 =0. Введем новую переменную y = 2 x, y >0 исходное уравнение принимает вид y 2 + 2y – 24 = 0, решив полученное квадратное уравнение относительно y, находим y 1 = 4, y 2 = -6. Возвращаясь к подстановке 2 x =y, получаем следующие уравнения 2 x = 4, 2 x = - 6. Решаем эти уравнения: 2 x = 4, x = 2; 2 x = - 6, не имеет решений (корней), поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2 x > 0. Ответ: x =2. Решите уравнение 4 x + 2 x+1 – 24 = 0. Заметим, что 4 x = (2 2 ) x = (2 x ) 2, тогда данное уравнение можно записать так: (2 x ) 2 + 2·2 x -24 =0. Введем новую переменную y = 2 x, y >0 исходное уравнение принимает вид y 2 + 2y – 24 = 0, решив полученное квадратное уравнение относительно y, находим y 1 = 4, y 2 = -6. Возвращаясь к подстановке 2 x =y, получаем следующие уравнения 2 x = 4, 2 x = - 6. Решаем эти уравнения: 2 x = 4, x = 2; 2 x = - 6, не имеет решений (корней), поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2 x > 0. Ответ: x =2. С А М О П Р О В Е Р К А 3 уровень

17 17 Укажи метод решения уравнения УравнениеМетод решения 1 х³ - 7х = 0 Метод разложения на множители 2 Функционально-графический метод 3 log 3 2 х – log 3 х = 2 Метод введения новой переменной 4 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 5 7 2x x x+3 = 57 Метод разложения на множители 6 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 7 9 x + 3 x+1 = 4 Метод введения новой переменной 8 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 9 Функционально-графический метод

18 18 Ещё есть время подготовиться к ЕГЭ! С1: рассмотреть и выписать уравнения к которым можно применить метод: 1 вариант: метод разложения на множители 2 вариант: метод введения новой переменной на ИЛО: задание 3 из каждого столбика решить по одному уравнению Творческое задание: Составить презентацию: « Использование уравнений в физике » § 27 стр

19 19 Как я усвоил материал? получил прочные знания (9 – 10 баллов); усвоил новый материал частично (78 баллов); мало понял, необходимо еще поработать (46 баллов). Как я работал? работал хорошо (9 – 10 баллов); допустил ошибки (7 – 8 баллов); не справился со многими заданиями (указать какими) (4 – 6 баллов). Как работала учебная группа? дружно все (9 – 10 баллов); не все активны (78 баллов); работа вялая, много ошибок (4 – 6 баллов). Оцени свою работу на уроке по 10 балльной шкале, последовательно отвечая на вопросы: баллов -«5»; баллов - «4»; баллов -«3»

20 20 «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.» Лейбниц. ЛЕЙБНИЦ (Leibniz) Готфрид Вильгельм ( ), немецкий философ, математик, физик, языковед. Основатель и президент (с 1700) Бранденбургского научного общества (позднее – Берлинская АН). По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России.