Исследование функций и построение графиков. Теоретический материал. - презентация

1 Исследование функций и построение графиков

2 Теоретический материал

3 Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями координат 5) Непрерывность функции. Характер точек разрыва 6) Асимптоты 7) Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность 8) Выпуклость функции. Точки перегиба

4 Область определения функции Определение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена. Примеры.

5 Четные и нечетные функции Функция y=f(x) называется четной, если Функция y=f(x) называется нечетной, если

6 Периодичные функции Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что если х принадлежит D f, то х±Т также принадлежит D f и f(x+T)=f(T).

7 Точки пересечения с осями координат При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.

8 Непрерывность Характер точек разрыва Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х 0, если функция определена в точке х 0 и предел функции в точке х 0 равен значению функции в точке х 0. Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями. Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=e x, y=P n (x) (многочлен степени n).

9 Точки разрыва функции Определение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения функции, в которой функция не является непрерывной. Пример. Функция разрывна в 0, так как

10 Классификация точек разрыва Точки устранимого разрыва Если в точке х 0 существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но не равные значению функции в точке х 0, то точка х 0 называется точкой устранимого разрыва.

11 Классификация точек разрыва Точки скачка Если в точке х 0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, то точка х 0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).

12 Классификация точек разрыва Точки разрыва II рода Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х 0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.

13 Вертикальные асимптоты Прямая х=х 0 называется вертикальной асимптотой графика функции при, если или.

14 Наклонные асимптоты Если существует прямая y=kx+b такая, что, то эта прямая называется асимптотой графика функции f при. Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:,.

15 Экстремумы функции Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b). Точка х 0 интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х 0 f (x) f (x 0 ) ). Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Пусть точка х 0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.

16 Исследование функции на монотонность Критические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х 1; f '(x)

17 Выпуклость функции Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в интервале (а, b), если для любых х 1 и х 2 из интервала (а, b) из того, что х 1

18 Выпуклость функции. Точки перегиба Если график функции в точке (х 0, f(x 0 )) переходит с одной стороны касательной на другую, то точка х 0 называется точкой перегиба функции f(x). Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

19 Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба Достаточное условие строгой выпуклости функции Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)

20 Практический материал

21 Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен при всех, область определения функции - вся ось 2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Периодической функция не является. 3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

22 4). Найдём наклонные асимптоты при в виде. Имеем: Таким образом, асимптотой как при, так и при служит прямая.

23 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось O x, и ось O y в начале координат. Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)

24 6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси O x, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.

25 7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±3, при этом f(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f(x)

26 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

27 Исследуем функцию f(x) = (x 2 – 2x)e x и построим её график. 1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом. Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции. 2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической. 3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

28 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при. При имеем:

29 Теперь найдём значение b по формуле. Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью O x. 5). Точка пересечения с осью O y равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью O x. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью O x, решаем уравнение f(x) = (x 2 – 2x)e x. Поскольку e x 0, решаем уравнение, откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции:, и.

30 Знак функции определяется множителем x 2 – 2x, поскольку e x >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)0, то есть, с учётом того, что e x >0, неравенством x 2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f(x)

31 Значение функции в этой точке равно В точке 2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка 2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково: Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции: Эскиз графика функции f(x)

32 Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную: Решим неравенство, эквивалентное неравенству x 2 +2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и. На этих интервалах функция выпукла.

33 Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие: 8). Осталось построить окончательный чертёж: График функции (x 2 – 2x)e x.