Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Геометрия, 10 класс. - презентация

1 Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Геометрия, 10 класс.

2 Две пересекающиеся прямые в пространстве определяют единственную плоскость, поэтому угол между пересекающимися прямыми в пространстве определяется так же как в плоскости. Вспомним это определение: а в М Определение Определение. Меньший из неразвернутых углов, полученных при пересечении двух прямых, называется углом между данными прямыми. Из определения следует, что угол между двумя пересекающимися прямыми не может превышать 90 0 т.е. Если прямые параллельные, то величина угла между ними считается равной 0 0.

3 A B C D1D1 A1A1 C1C1 Пример 1 Пример 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите углы между прямыми: 1) CC 1 и BC 1 ; 2) BC 1 и CB 1 ; 3) AA 1 и CC 1 ; 4) A 1 C 1 и BC 1. BC C1C1 В1В1 Решение. 1) BC 1 C=45 0 (по свойству диагоналей квадрата); 2) C 1 ОC=90 0 (по свойству диагоналей квадрата); О О 3) 0 0, т.к. AA 1 CC 1 ; 4) A 1 C 1 B=60 0 (по свойству равностороннего треугольника ΔA 1 C 1 B); Ответ: 1) 45 0 ; 2) 90 0 ; 3) 0 0 ; 4) 60 0.

4 В общем случае, для нахождения угла между пересекающимися прямыми обычно рассматривают треугольник, в который входит интересующий нас угол. В прямоугольном треугольнике необходимо выразить какую-либо тригонометрическую функцию этого угла, в произвольном треугольнике – косинус данного угла (по следствию из теоремы косинусов). Далее сам угол находят с помощью обратных тригонометрических функций. Пример 2 Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, AB=4 см, ВС=3 см, ВВ 1 =2 см. Найдите углы между прямыми: 1) CC 1 и BC 1 ; 2) BC 1 и CB 1 ; 3) AA 1 и CC 1 ; 3) A 1 C 1 и BC 1. A B C A1A1 D1D1 C1C1 Решение. 1) BC 1 C. Из ΔBC 1 C, С=90 0 : tg BC 1 C=1,5 BC 1 C= arctg 1, ; 2) C 1 ОC. Из ΔOC 1 C, OC=OC 1 : О =180 0 –2· С 1 = = –2 arctg 1, – = ;(по теореме о сумме углов треугольника и свойству равнобедренного тр-ка) О 3) 0 0, т.к. AA 1 CC 1 ; 4) A 1 C 1 B. Стороны ΔA 1 C 1 B находим из прямоугольных треугольников ΔA 1 C 1 D 1, ΔAA 1 B, ΔCC 1 B по теореме Пифагора: A 1 C 1 =5 см, A 1 B= см, BC 1 = см. Теперь, по следствию из теоремы косинусов:

5 Определение Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между соответственно параллельными им пересекающимися прямыми: а в в'в' T a, b, b b ', T a, b' Обратите внимание, что плоскость, образованная пересекающимися прямыми a и b параллельна прямой b (по признаку параллельности прямой и плоскости).

6 A B C D1D1 A1A1 C1C1 Пример 3 Пример 3. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите углы между прямыми: 1) CC 1 и АB; 2) AD 1 и CB 1 ; 3) AD 1 и BA 1 ; 4) AC 1 и BB 1 ; 5) AC 1 и BD. Решение. 1) =90 0 (по определению квадрата); 2) (по свойству диагоналей квадрата); 3) (по свойству равностороннего треугольника ΔA 1 C 1 B); 4) = AC 1 С. В ΔACC 1, С=90 0 можно выразить любую из тригонометрических функций, т.к. известны все его стороны: СС 1 = а, АС=, AC 1 =. Например, 5), где О BD, AC и М – середина СС 1. O M ΔBMD – равнобедренный с основанием BD, МО – медиана, а значит и высота, т.е. MOB=90 0. D

7 Задание. Докажите, что все скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны. A B C S K Дано: SABC – треугольная пирамида, SA=SB=SC, AB=BC=AC. Доказать: AC BS. Доказательство. 1) Построим сечение тетраэдра, проходящее через ребро BS и точку К – середину ребра АС. 2) По свойству медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника АС SK и AC BK. 3) Т.к. АС SK и AC BK, то АС (BKS) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). А значит, АС BS (BKS) (по определению перпендикулярности прямой и плоскости) Перед заключительным этапом доказательства вспомните определение и признак перпендикулярных прямой и плоскости.

8 Определение Определение. Углом между плоскостью и пересекающей её прямой называется угол между данной прямой и её прямоугольной(ортогональной) проекцией на данную плоскость. т n K, где m =K, m n =K, n, P m, F n, PF. P F Обратите внимание, что понятия угла между скрещивающимися прямыми и угла между прямой и плоскостью сводятся к понятию угла между пересекающимися прямыми.

9 A C D1D1 A1A1 Пример 4 Пример 4. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите углы между : 1) BC 1 и (АBC); 2) A 1 C 1 и (CBB 1 ); 3) AC 1 и (AA 1 D 1 ). B C1C1 Решение. 1) (по свойству диагоналей квадрата); 2) (по свойству диагоналей квадрата); 3) a Ответ: 1) 45 0 ; 2) 45 0 ; 3).

10

11