Правильная пирамида - презентация

1 Правильная пирамида Выполнила Петренко Наталья Викторовна, Учитель математики МОУ СОШ 7, Ст.Воронежской, Усть - Лабинского района, Краснодарского края

2 A D C B O K T E 2 2

3 В правильной четырехугольной пирамиде известны длина стороны основания 2 и длина высоты 2. Найдите: а) объем пирамиды;объем пирамиды; б) площадь боковой по­верхности;площадь боковой по­верхности; в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;угол наклона бокового ребра к плоскости основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) радиус вписанного шара;радиус вписанного шара; е) радиус описанного шара;радиус описанного шара; ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;

4 з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания;расстояние от вершины пирамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра основания до противоположной грани;расстояние от ребра основания до противоположной грани; к) расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю ос­нования;расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю ос­нования; л) объем вписанного конуса;объем вписанного конуса; м) площадь боковой поверхности описанного конуса. Выход

5 а) КО – высота пирамиды В О К 2 б) Проведем апофему КТ и найдем ее длину из Δ КОТ: В 2

6 А С D 2 В В) Так как в правильной пирамиде все углы наклона всех боковых ребер к плоскости основания равны, то найдем например,

7 А С D 2 В г) Так как в правильной пирамиде углы наклона всех боковых граней к плоскости основания равны, то найдем, например, угол наклона боковой грани KCD к плоскости АВС. так как KT DC, то OT DC, поэтому < КТО -линейный угол искомого двугранного угла. Рассмотрим Δ КТО: КО=2. Т К О ?

8 А С D 2 В д) Так как двугранные углы при основании правильной пирамиды равны, то центр вписанного шара (точка О 1 ) принадлежит высоте КО. Обозначим радиус вписанного шара буквой r. Рассмотрим Δ КТО: О 1 Р=О 1 О= r. Используя подобие треугольников Δ КТО и Δ КО 1 Р, имеем: К ТО ОТ К О1О1 Р

9 А С D 2 В е) Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то центр описанного шара (точка О 2 ) лежит на прямой КО. Обозначим радиус описанного шара через R. Рассмотрим Δ КСО. По теореме Пифагора из Δ О 2 ОС: Получаем, что центр описанного шара совпадает с точкой О. К О О2О2 О К С ж) Расстояние от точки К до плоскости АВС равно длине отрезка КО и равно 2.

10 А С D 2 В з) Так как в правильной пирамиде расстояния от вершины до ребер основания равны, то найдем, например, расстояние от точки К до ребра СD, Это расстояние равно длине апофемы КТ и равно K O T и) Так как прямая DС параллельна плоскости АВК (по признаку параллельности прямой и плоскости), то расстояние от прямой DС до плоскости АВК равно расстоянию от любой точки прямой DС до этой плоскости. Рассмотрим на прямой ВС точку Т. И из Δ ЕКТ (точка Е середина АВ) найдем искомое расстояние. Это расстояние равно длине высоты ТН. Найдем длину ТН, выразив двумя способами площадь Δ ЕКТ. Е Е К Т О Н РЕШЕНИЕ

11 А С D 2 В К К) Найдем расстояние от ребра КС до диагонали ВD.Проведем высоту OF в Δ КСО и докажем, что OF- общий перпендикуляр к прямым КС и ВD. 1) OF КС по построению 2) Так как ВD (КСО) (По признаку перпендикулярности прямой и Плоскости), а OF (КСО), то ВDOF 3)Найдем длину OF, используя площадь Δ КСО О F

12 А С D 2 В 1) Введем прямоугольную систему координат. Пусть SN- общий перпендикуляр прямых KC и BD. Найдем длину вектора SN 2)Так как SD коллинеарен BD, то существует такое число х, что Найдем координаты векторов: Векторно-координатный методz x y K O S N

13

14 А С D 2 В л) Высота вписанного конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в квадрат АВСD, поэтому м) Образующая описанного конуса равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около квадрата АВСD, поэтому K O

15