Треугольник- плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны. - презентация

1 Треугольник- плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.

2 Разносторонний (a) Равнобедренный (b) Равносторонний (c) Прямоугольный (d) Подобные треугольники (e) a) b) c) d) e)

3 «…Здесь бесследно исчезало множество кораблей и самолётов – большинство из них после 45 года. Здесь же в течении последних 26 лет погибло более 1000 человек. Однако при поисках не удалось обнаружить ни одного трупа или обломка…» Этими словами начинается описание таинственного Бермудского треугольника у американского писателя Ч.Берлитца, теперь эту фразу с удовольствием цитируют как противники, так и сторонники гипотезы существования между Флоридой, Кубой и Бермудами некоего странного загадочного места, иначе говоря - аномальной зоны.

4 Маленькое созвездие к юго-востоку от Андромеды. У его западной границы видна спиральная галактика М 33, или Туманность Треугольника (5,7 зв. вел.), повёрнутая к нам почти плашмя. Её английское прозвище Pinwheel переводится как «цевочное колесо»-разновидность зубчатого колеса со стерженьками вместо зубьев; оно довольно точно передаёт видимую форму галактики. Она, как и Туманность Андромеды (М 31), член Местной группы галактик. Обе они расположены симметрично относительно звезды Мирах (B Андромеды), что существенно облегчает поиск более слабой М 33. Обе галактики находятся от нас примерно на одинаковом расстоянии, но Туманность Треугольника чуть дальше, на расстоянии 2,6 млн. световых лет.

5 Как известно, «Теорема Пифагора» является едва ли не самой знаменитой теоремой геометрии, которую помнит каждый человек, который когда-либо учился в средней школе и, возможно, сумел «начисто забыть» всю математику. Суть этой теоремы чрезвычайно проста. Теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике катеты a и b связаны с гипотенузой с следующим простым соотношением: a 2 + b 2 = c 2 Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков относится к разряду наиболее выдающихся математических теорем за всю историю математики. Гениальный астроном Иоганн Кеплер выразил свое восхищение теоремой Пифагора в следующих словах: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

6 В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и АС равны соответственно 3 и 4 (5 и 12). Найти: 1. ВС 2. S ABC 3. АН – высоту, опущенную на гипотенузу. (Вывести формулу для вычисления высоты, опущенной на гипотенузу: ) 4. СН:HB (можно провести вычислительную работу СН и НВ по Пифагору, но обязательно закрепить теорему: проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов) 5. S AHC и S AHB. ( опять-таки, можно и нужно вычислить их площади, как половина произведения катетов, но очень важно из геометрии площадей обосновать, что S AHC : S AHB = HC:HB = AC 2 :AB 2 = 16:9.). Далее воспользоваться делением площади АВС в данном отношении. 6. R – радиус описанной окружности. (R = 1 / 2 BC). 7. r – радиус вписанной окружности.(S = p r, ). Обе формулы доказываются, показывается универсальность первой (для любого описанного многоугольника – метод долек) и принадлежность второй только к классу прямоугольных треугольников.

7 8. Длины медиан АМ и СК. Задача о медиане АМ связана с задачами определения R, Sabc, умением достроить треугольник ABC до прямоугольника и сделать с помощью этой конструкции необходимые выводы. Медиана СК определяется по теореме Пифагора. Так как в произвольном треугольнике это правило не срабатывает, то необходимо "притянуть за уши" формулу длины медианы произвольного треугольника: 4СК²=2АС²+2ВС²- АВ². Эта формула тяжеловата для запоминания, поэтому более эффективно запомнить её "первообразные" – достраивание треугольника до параллелограмма (что очень важно для выработки конструкторских умений) и следствие из этой теоремы косинусов: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Ну и вместо этого просто пошаговая работа теоремой косинусов "туда и обратно". Из треугольника АВС по теореме косинусов (если это произвольный треугольник) определяем косинус угла В, и, зная его, опять таки по теореме косинусов из ΔСКВ находим СК. C C1 A B

8 9. Длины отрезков АР, РС, CN, NB, TB и АТ, где AN, BP и СТ – биссектрисы АВС (отрабатывается одно из основных свойств биссектрис и работа в делении величины в данном отношении) 10. Отношения РО:ОВ, AO:ON; CO:OT (теорема об отношении, в котором делятся биссектрисы точкой их пересечения – AO:ON = (AC + AB) : CB). 11. Длины биссектрис AN, CT и BP. Здесь можно отработать три метода:

9 1) ΔANB:AB=3; BN=5*3/7=15/7; cosB =3/5. По теореме косинусов: AN²=9+225/49-2*3*15/7*3/5=(9*16*2)/49; 2) Геометрия площадей: Scan + Sanb= Scab 1/2AN*4*sin45°+1/2AN*3*sin45°=6; 3) И формула (теорема) о длине биссектрисы: AN²=AC*AB-CN*BN AN²=3*4-(5*5*3*4)/7*7=12(1-25/49)=12*24/49; AN= 12. Длины отрезков CO, OT, AO, ON, BO, OP. Эта задача является следствием 10 и 11. Зная длины биссектрис и отношения, в которых они делятся точкой пересечения, закрепляем действие деления в данном отношении. 13. Площади шести треугольников, образовавшихся при проведении биссектрис: 1) Если учитывать предшествующие задачи, то мы знаем в каждом треугольнике основания – отрезки CP, PA, AT, TB, BN, NC и высоту – r.

10 2) Если задача решается изолированно, без предшествующих, то из геометрии площадей следует Saot:Stob=AT:TB=4:5, Stbo:Sboc:Scoa=3:5:4. (опять ссылка на равенство высот в этих треугольниках). И далее вновь отрабатывается действие деления величины в данном отношении. Ну и любопытное замечание – площади численно будут равны длинам соответствующих оснований AT, TB, BN, NC, PC, PA. Распространится ли это на прямоугольный треугольник:5,12,13? На другие треугольники? Как, используя полученные результаты, определить синусы любого из углов этой геометрической конструкции? 14. Площади треугольников, получившихся при пересечении медиан (получившиеся шесть треугольников равновелики в любом треугольнике). 15. а)длина AK,если BK:CK=1:4 б)длину TK, если AY:TC=3:1 в)косинус TKA – одношаговые упражнения с использованием теоремы косинусов.

11 16. а)площадь ΔCTK б)площадь ΔTKA Здесь уместно кроме вычислительного метода: Sctk=½CT*CK*sinC=½*1*4*3/=6/5, Sctk=Sabc – Stck – Sakb отработать применение теоремы об отношении площадей треугольников с равными углами. Sctk/Sabc=CT*CK/CA*CB=1/4*4/5=1/5 Sctk=1/5*6=6/5 Sakb/Sabc=1*3/5*3=1/5, Sakb=1/5*6=6/5 Stka=6-12/5=18/5=3,6 17. Радиус окружности, вписанной в ΔCTK (формула S=r*p) 18. Радиус окружности, описанной около ΔCTK (следствие из теоремы синусов – AK/sinATK=2R, sinATK=sinCTK) 19. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей для ΔABC (Формула Эйлера: d²=R²- 2Rr) в произвольном треугольнике и отдельно для прямоугольного треугольника:

12 O1F=1=r, O2B=R=2,5, FB=EB=3-1=2; O2F=2,5-2=0,5 O1O2²=0,5²+1=0,25+1=5/4 O1O2= И по формуле Эйлера: d²=R²-2Rr=2,5(2,5-2)=2,5*0,5=5/4; d=

13 s/p= h = a 2 a R= abc 4

14 Точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника обозначим через А 1 В 1 С 1. Треугольники AIВ 1 И AIC 1 BIA и BIC 1 CIA 1 CIB 1 попарно равны, как прямоугольные треугольники, имеющие общую гипотенузу и равные углы. Обозначим BC=a, AC=b, AB=c.Тогда откуда аналогично. И., =β,=β, = γ.= γ. Обозначим углы В треугольнике AIB 1 катеты связаны соотношением:, Откуда = = =

15 Аналогично и Так как То легко доказать (*) Подставив в (*) выражения Через a,b,c и r, получим Откуда Так как,то отсюда следует формула Герона:

16 Ну вот, пожалуй, можно остановиться в наборе основных проблем треугольника. Работа в формировании знаний, умений и навыков, связанных с этой Задачей, начинается с пятого класса – пропедевтического курса геометрии (геометрии площадей, деления отрезка данном отношении, конструктивные навыки – построение биссектрис, медиан и высот произвольным набором инструментов (метрической линейкой, транспортиром, угольником)) и длится практически до окончания курса планиметрии. Многие теоремы используются в работе задолго до их доказательства, подготовляя сознание детей к логическим операциям с используемыми понятиями. Например, биссектриса треугольника может быть построена как с помощью транспортира, так и с использованием факта деления противоположной стороны в известном отношении и только спустя значительное время это получает как чёткую логическую, так и конструктивную основу.

17 1. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М.: Наука, Наука, с 2. Green Т. М., Hamberg C. L. Pascals Triangle. Palo Alto: Dale Seymour? Бондаренко Б. А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фрактали, графы и приложения. Ташкент: Фан, с. 4. Докин В. Н., Жуков В. Д., Колокольникова Н. А. и др. Комбинаторные числа и полиномы в моделях дискретных распределений. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, с. 5. Кузьмин О. В. Некоторые комбинаторные числа в обобщенной пирамиде Паскаля // Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анализа. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, С Колокольникова Н. А., Кузьмин О. В. Обобщения триномиальных коэффициентов // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца М.: Вып. 63. С Рецензент статьи Ю. П. Соловьев.