Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда - презентация

1 Проект Семенова Алексея Витальевича Тема: « Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда» Димитровград 2008г.

2 Содержание: 1.Определение степенного ряда 2.Примеры степенных рядов 3.Область сходимости степенного ряда. 4. Равномерная сходимость функционального ряда. 5. Нахождение радиуса сходимости ряда. 6. Список использованной литературы.

3 Степенной ряд и его область сходимости. Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида: где -постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

4 Любой степенной ряд сходится при х=0, т.к. в этой точке все члены ряда (1), кроме первого, - нули. Есть степенные ряды вида (1), которые сходятся лишь в точке х=0; такие ряды относят к рядам первого класса. Например, ряд сходится лишь в точке х=0; в любой другой точке х0 этот ряд расходится. Действительно, при каждом х0 из числовой оси имеем числовой ряд. Исследуем его на сходимость. Образуем ряд Применив к последнему ряду признак Даламбера, получим: при всех х0. Следовательно, ряд (3), значит, и ряд (2) расходятся при всех х0. (1) (2)(3)

5 Еще в середине 60-х годов XVII века, получив формулу бинома для натурального показателя, Ньютон сразу же приступил к выяснению того, действительна ли она для отрицательных и дробных показателей. В частности, он проверил ее для показателей В первом случае он пришел к ряду, во втором к ряду Здесь, как при любом рациональном m, сумма биномиального ряда (при ) дает арифметическое значение радикала. Получение биномиального ряда

6 При имеем: Этот ряд сходится при ( ). Однако, результаты Ньютона в этом, как и в других вопросах анализа, были, как известно, опубликованы намного позже их получения автором. Так называемый биномиальный ряд, связанный с именем Ньютона, имеет следующий вид: При этом m – любое, отличное от нуля вещественное число. Этот ряд сходится при, т.е. при Доказательство разложения для любого вещественного m, было дано Эйлером.

7 Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном Одним из способов разложения в ряды, применявшихся Ньютоном, было обращение ряда; например, исходя из логарифмического ряда в котором x разложен по степеням y, он устанавливает обратное разложение y по степеням x, получая: или, который представляет собой показательный ряд, он сходится для любого х.

8 Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном Заменив в ряде х на –х 2, найдем: Этот ряд Ньютон проинтегрировал почленно, получив: Ряд сходится на отрезке

9 Область сходимости степенного ряда Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число, что степенной ряд сходится приТеорема. Для всякого степенного ряда существует такое число, что степенной ряд сходится при и расходится при и расходится при Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости ряда.Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости ряда.

10 Область сходимости степенного ряда Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда на границе круга сходимости, то есть при, дать нельзя. В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать отдельно. Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в точке z=a; при R=+ степенной ряд сходится.

11 Нахождение радиуса сходимости ряда Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов. Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов. 1. Если существует, то. 1. Если существует, то. 2. Если существует, то. 2. Если существует, то. 3. Пусть. Т огда. 3. Пусть. Т огда.

12 ПРИМЕР. Определить интервал сходимости ряда и исследовать его на концах интервала: Решение. Т.к. степенной ряд по теореме Абеля сходится абсолютно в интервале сходимости, то рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Это ряд положительный, поэтому мы можем для его исследования применить признак Даламбера. признак Даламбера.,.,. Получили интервал сходимости данного ряда IxI

13 Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала x= - 3 подставим в данный ряд, получим. Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.. Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Первое условие признака Лейбница выполняется, т.к. Второе условие признака Лейбница также выполняется, т.к.

14 Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала x= - 3 подставим в исходный ряд, получим гармонический ряд, он расходится. гармонический ряд, он расходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток. Ответ: или

15 Леонард Эйлер ( ) Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества научных открытий во всех областях математики. Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии. Краткая историческая справка

16 Исаак Ньютон (1643 – 1727) В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский Университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулстропе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г.В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон так же находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел. Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях. Работы Ньютона надолго опередили пути развития физики и математики. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип,, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

17 Список использованной литературы: 1.И.И. Баврин, В.А. Матросов Общий курс высшей математики. 2. М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике для ВУЗов. 3. Б.В. Соболь Практикум по высшей математике/ Ростов н/Д: Феникс, 2006,-640 с.