1) А + В = 90 0, sinA = cosB 2)с 2 = а 2 + в 2 3)а = с cosβ в = с sinβ tgB = в/а О – середина АВ ( О – центр описанной окружности) R- радиус описанной. - презентация

1

2 1) А + В = 90 0, sinA = cosB 2)с 2 = а 2 + в 2 3)а = с cosβ в = с sinβ tgB = в/а О – середина АВ ( О – центр описанной окружности) R- радиус описанной окружности, АВ- диаметр описанной окружности. r- радиус вписанной окружности

3 h – высота, проведённая к гипотенузе С. или h 2 = ac bc в 2 = c bc a 2 = c ac

4 АВС: СО – медиана СH – высота СС 1 – биссектриса С Тогда ОСС 1 = HCC 1 Биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам, проведёнными из той же вершины угла.

5 Дано: АВС – прямоугольный ( С = 90 0 ), CH – высота АС = 10, АH = 8 Найти: S АВС Решение: 1) АCH: AH= 8; AC= 10; CH= AC 2 – AH 2 = 10 2 – 8 2 = 36 = 6 2) CH 2 = AH HB, HB= CH 2 /AH = 6 2 /8 = 9/2 = 4.5 3) AB = AH + HB = = ) S = 1/2АB CH= 1/ = 37.5 Ответ. 37.5

6 Дано: АВС – прямоугольный ( С = 90 0 ), Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы. АВ= 25, ВС= 20 О- точка пересечения медиан. Найти: OT Решение: Проведём CH – высоту, тогда ОТ OH, как перпендикуляры, проведённые к АВ. Значит ОТМ ОHМ, следовательноСМ – медиана, значит ОМ / CM= 1/3 Тогда ОТ / CH= 1/3, т.к. CH- высота, проведённая из вершины прямого угла, то CH= AC BC / AB AC = AB 2 – BC 2 = = 225 = 15 (см) CH= /25= 12 (см) OT= CH / 3= 12/3= 4 (см) Ответ. 4 см

7 Периметр прямоугольного треугольника равен 72см, а радиус вписанной окружности равен 6см. Найти диаметр описанной окружности. Дано: АВС – прямоугольный ( С = 90 0 ), P= 72см, r = 6см. Найти: АВ Решение: АВ- диаметр описанной окружности. О - центр вписанной окружности ( точка пересечения биссектрис углов). r = 6, (а + в – с)/ 2 = 6 P= а + в + с, а + в = P – c = 72 – c, тогда (72 –с –с)/ 2= 6, 72 -2c = 12, 2c= 60, C=30, AB= 30. Ответ. 30 см

8 Дано: АВС – прямоугольный, ВМ, АN, CP – медианы. АN= 12 см, ВМ= 411 см. Найти: СР Решение: Р – середина АВ. Р – центр описанной окружности около АВС. Значит АР=РВ=РС, следовательно СР= ½ AB. AN 2 = AC 2 + CN 2, BM 2 = BC 2 + CM 2 ; 144 = AC 2 + (1/2BC) 2, 176 = BC 2 + (1/2AC) 2 ; AC 2 + 1/4(BC) 2 = 144, BC 2 + 1/4(AC) 2 = 176; 5/4 AC 2 + 5/4 BC 2 = 320, 5/4 (AC 2 + BC 2 )= 320 / 4/5 AC 2 + BC 2 = 256. AC 2 + BC 2 = AB 2, значит AB 2 = 256, АВ= 16. Тогда СР= ½ AB= ½ 16= 8 (см) Ответ. 8 см

9 Дано: АВС – прямоугольный ( С = 90 0 ), ВМ – биссектриса В. sinA= 0.8, S СBM =8 Найти: S АВС Решение: S АВС = ½ AC BC S СBM = ½ MC BC, ½ MC BC = 8, MC BC = 16. (1) sinA= 0.8, значит cosB= 0.8 tgв/2= 1- cosB / 1+ cosB= / = 0.2/1.8= 1/9= 1/3 tgв/2= MC/BC, MC/BC= 1/3, MC= 1/3 BC. (2) Подставим в (1) равенство, получим: BC 1/3BC= 16, 1/3 BC 2 = 16 Значит BС 2 = 48, ВС= 43 (см) АВС: BC= 43, sinA= 0.8

10 tgA= BC/AC, AC= BC : tgA= BC : sinA/cosA= 43 : 0.8 / 1-(0.8) 2 = = /0.8= 33 (см). S АВС = ½ AC BC= ½ 33 43= 18 (см) 2 Ответ. 18 (см) 2

11 1)В прямоугольном треугольнике АВС высота CH, проведенная из вершины прямого угла, равна 3, АС= 5. Найти S ABC Ответ ) В прямоугольном треугольнике АВС( С= 90 0 ), проведена биссектриса ВК. Найти 95S, где S- площадь СВК. SABC = 35, а sinA= 2/7. Ответ ) В прямоугольном треугольнике АВС( С= 90 0 ). Через центр О – вписанной в треугольник окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что АМ= 83, А= МВС. Найти гипотенузу. Ответ. 24.

12 4) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16см. Найти диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Ответ. 25см. 5) Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 222, а катет ВС равен 6. Найти длину медианы ВК. Ответ. 7.