Пределы. Непрерывность функций - презентация

1 Пределы. Непрерывность функций Автор: Королёв Иван, 11 «А» класс Руководитель: Степанищева Зоя Григорьевна

2 Введение Цель работы: 1. Совершенствовать уровень своей математической подготовки. 2. Овладеть некоторыми вопросами математического анализа. Задачи исследования: 1. Изучить определения и свойства предела, непрерывность функции. 2. Выработать навыки нахождения пределов, построения графи- ков разрывных функций. Актуальность темы: Изучение данной темы предусматривает межпредметную связь математики и физики. Понятие предела непосредственно связано с ос- новными понятиями математического анализа – производная, инте- грал и др.

3 Предел переменной величины Пределом переменной величины х называется постоянное число а, если для каждого наперед заданного произвольно малого положи- тельного числа ε можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству |х–а|

4 Рассмотрим несколько примеров переменных, стремящихся к пределу. Пример 1. Доказать, что переменная х n =1+ имеет предел, равный единице. Составим разность между переменной и ее пределом: |х n –1|=|(1+ )–1|=. Для любого ε все последующие значения перемен- ной, начиная с номера n, где n >, будут удовлетворять условию |х n –1|

5 Предел функции Пределом функции ƒ(х) при ха называется число b, если для любого положительного ε можно указать такое положительное число δ, что для любого х, удовлетворяющего неравенству |х–а|

6 Предел функции y=ƒ(х) 2ε b +ε b-εb-ε b a -δ a +δ a М

7 Основные свойства пределов Свойство 1. Предел суммы нескольких переменных равен сумме пределов этих переменных: lim(a 1 +a 2 +…+a n )= lim a 1 +lim a 2 +…+lim a n. Свойство 2. Предел произведения нескольких переменных равен произведению пределов этих переменных: lim(a 1a 2…a n )= lim a 1lim a 2…lim a n. Свойство 3. Предел частного двух переменных равен част- ному пределов этих переменных, если предел знаменателя отли- чен от нуля: lim =, если lim b0. Свойство 4. Предел степени равен пределу основания, воз- веденного в степень предела показателя: lim a b =(lim a) lim b.

8 Основные свойства пределов Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: Далее я решил привести некоторые часто встречающиеся типы примеров, рассмотренных мной в ходе работы: 1. 2.

9 Основные свойства пределов 3. 4.

10 Основные свойства пределов Пусть и=2+а, а0.

11 Непрерывность функций Функция называется непрерывной в точке х 0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует предел функции при хх 0, равный значению самой функции в этой точке. Функция на- зывается непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точка х 0, принадлежащая области опреде- ления функции, называется точкой разрыва, если в этой точки нару- шается условие непрерывности. Если существуют конечные левый и правый пределы функции в точке х 0, а функции определена в этой точке, но эти три числа не равны между собой, то точка х 0 называется точкой разрыва I рода. Точки разрыва, не являющиеся точками разры- ва I рода, называются точками разрыва II рода.

12 Непрерывность функций Пример 1. Рассмотрим функцию

13 Непрерывность функций Данная функция имеет разрыв в точке х=3. Рассмот- рим односторонние пределы: Функция имеет конечный предел слева, предел же справа является бесконечным. Точка х=3 будет точкой разрыва II рода. Пример 2. Определить точки разрыва функции