Некоторые применения теоремы Пифагора Автор Янченко Т.Л. Автор Янченко Т.Л. Август 12, 2004 Август 12, 2004 Автор Янченко Т.Л. Автор Янченко Т.Л. Август. - презентация

1

2 Некоторые применения теоремы Пифагора Автор Янченко Т.Л. Автор Янченко Т.Л. Август 12, 2004 Август 12, 2004 Автор Янченко Т.Л. Автор Янченко Т.Л. Август 12, 2004 Август 12, 2004

3 Ниже будем использовать следующие обозначения: катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC соответственно a, b и c ; ABC соответственно a, b и c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3. соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3. Ниже будем использовать следующие обозначения: катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC соответственно a, b и c ; ABC соответственно a, b и c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3. соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3.

4 Теорема Пифагора и подобие фигур для n - мерного пространства Будем считать F 1 подобной F 2 в n - мерном пространстве с Будем считать F 1 подобной F 2 в n - мерном пространстве с коэффициентом подобия к, если есть величины W 1 и W 2коэффициентом подобия к, если есть величины W 1 и W 2 соответственно такие, что W 1 /W 2 =k n.соответственно такие, что W 1 /W 2 =k n. Т1. Если F 1 подобна F 3, где k= n V¯a 2 /c 2, F 2 подобна F 3, гдеТ1. Если F 1 подобна F 3, где k= n V¯a 2 /c 2, F 2 подобна F 3, где k= n V¯b 2 /c 2, и W 1 +W 2 =W3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника.k= n V¯b 2 /c 2, и W 1 +W 2 =W3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника. Т2. Если F1 подобна F3, где k= n V¯a 2 /c 2, F2 подобна F3, гдеТ2. Если F1 подобна F3, где k= n V¯a 2 /c 2, F2 подобна F3, где k= n V¯ b 2 /c 2, и а,b и с- стороны прямоугольного треугольника,тоk= n V¯ b 2 /c 2, и а,b и с- стороны прямоугольного треугольника,то W 1 +W 2 = W 3. W 1 +W 2 = W 3.

5 Теорема 1 и теорема 2 для двухмерного пространства Т1. Если F 1 подобна F 3, где k=a/c=sin A, F 2 подобна F 3, где k=b/c=sin B, и S 1 +S 2 =S 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника.Т1. Если F 1 подобна F 3, где k=a/c=sin A, F 2 подобна F 3, где k=b/c=sin B, и S 1 +S 2 =S 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника. Т2. Если F 1 подобна F 3, где k=a/c=sin A, F 2 подобна F 3, где k=b/c=sin B, причем a, b и c- стороны прямоугольного треугольника, то S 1 +S 2 =S 3.

6 а b c F1F1 F2F2 F3F3 a 2 +b 2 =c 2 S 1 +S 2 =S 3 k 1 =a/c k 2 =b/c Иллюстрация к теоремам 1 и 2

7 Доказательство Т 1 Доказательство Т 1 Из подобия фигур следует равенство : Из подобия фигур следует равенство : S 1 +S 2 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 (см.доказательствоТ2).S 1 +S 2 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 (см.доказательствоТ2). По условию S 1 +S 2 =S 3, следовательно По условию S 1 +S 2 =S 3, следовательно (a 2 +b 2 )/c 2 =1, откуда а 2 +b 2 =c 2. Тогда по(a 2 +b 2 )/c 2 =1, откуда а 2 +b 2 =c 2. Тогда по обратной теореме Пифагора имеем : a, b и cобратной теореме Пифагора имеем : a, b и c есть стороны прямоугольного треугольника.есть стороны прямоугольного треугольника. Теорема доказана. Теорема доказана.

8 Доказательство Т2 Доказательство Т2 Из подобия фигур, отношение площадей Из подобия фигур, отношение площадей которых равно квадрату коэффициента которых равно квадрату коэффициента подобия, следует : S 1 = (a 2 /c 2 )S 3, S 2 = (b 2 /c 2 )S 3. подобия, следует : S 1 = (a 2 /c 2 )S 3, S 2 = (b 2 /c 2 )S 3. Тогда S 1 +S 2 = (a 2 /c 2 ) S 3 + (b 2 /c 2 )S 3 = Тогда S 1 +S 2 = (a 2 /c 2 ) S 3 + (b 2 /c 2 )S 3 = =(a 2 /c 2 +b 2 /c 2 )S 3 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 =S 3, так как по =(a 2 /c 2 +b 2 /c 2 )S 3 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 =S 3, так как по теореме Пифагора a 2 +b 2 =c 2. теореме Пифагора a 2 +b 2 =c 2. Итак, имеем S 1 +S 2 =S 3. Теорема доказана. Итак, имеем S 1 +S 2 =S 3. Теорема доказана.

9 F2 F1 F3 a b c S 1 +S 2 =S 3 a 2 +b 2 =c 2 k 1 =a/c k 2 =b/c Иллюстрация к Т1 и Т2 Иллюстрация к Т1 и Т2

10 Теорема 3 и теорема 4 для трехмерного пространства Теорема 3 и теорема 4 для трехмерного пространства Т3. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, и V 1 +V 2 =V 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника.Т3. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, и V 1 +V 2 =V 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника. Т4. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, причем a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, то верно V 1 +V 2 =V 3.Т4. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, причем a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, то верно V 1 +V 2 =V 3.

11 Доказательство Т3 и Т4. Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия, поэтому V 1 =(а 2 /c 2 )V 3 и V 2 =(b 2 /c 2 )V 3, откуда V 1 +V 2 =V 3 (a 2 +b 2 )/c 2. (1) Т3 Т3. По условию V 1 +V 2 =V 3,тогда из равенства(1) следует a 2 +b 2 =c 2 и то,что a,b и c - cтороны прямоугольного треугольника. Т4. Т4. По условию a,b и c-стороны прямоугольного треугольника, т.е. a 2 +b 2 =c 2,тогда из равенства (1) следует, что V 1 +V 2 =V 3. Теоремы доказаны. Доказательство Т3 и Т4

12 V 1 +V 2 =V 3 a 2 +b 2 =c 2 k 1 = 3 V - (a/c) 2 k 2 = 3 V - (b/c) Иллюстрация к теоремам 3 и 4

13 V 1 +V 2 =V 3 a 2 +b 2 =c 2 k 1 = 3 V - (a/c)2 k 2 = 3 V - (b/c) Иллюстрация к теоремам 3 и 4 Иллюстрация к теоремам 3 и 4

14 Теоремы 5 и 6 для одномерного пространства Т5. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3,Т5. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3, где к=b 2 /c 2, и L 1 +L 2 =L 3, то a,b и с - стороныгде к=b 2 /c 2, и L 1 +L 2 =L 3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника.прямоугольного треугольника. Т6. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3,Т6. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3, где к=b 2 /c 2, и а,b и с - стороны прямоугольногогде к=b 2 /c 2, и а,b и с - стороны прямоугольного треугольника, то L 1 +L 2 =L 3.треугольника, то L 1 +L 2 =L 3.

15 Иллюстрация для одномерного пространства a c b L1L1 L3L3 L2L2 k 1 =a 2 /c 2 k 2 =b 2 /c 2 a 2 + b 2 =с 2 L 1 +L 2 = L 3