Различные способы доказательства теоремы Пифагора Автор: Кормишин Алексей, 8 класс Руководитель: Мещерякова Г. В., учитель. - презентация

1 Различные способы доказательства теоремы Пифагора Автор: Кормишин Алексей, 8 класс Руководитель: Мещерякова Г. В., учитель

2 Цель: рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы, разработать доказательство теоремы Пифагора, опираясь на знания, полученные при изучении геометрии в школе. Задачи: 1. Познакомиться с биографией Пифагора. 2. Познакомиться с историей открытия теоремы. 3. Привести некоторые доказательства теоремы Пифагора. 4. Доказать теорему Пифагора «своим» способом. 5. Изучить область применения теоремы. 6. Сделать выводы о значении теоремы Пифагора. Методы: теоретические: анализ, синтез, абстрагирование, индукция, дедукция; эмпирические: изучение

3 Гипотеза: существует возможность доказать теорему с использованием пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике и с помощью определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике Актуальность: из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодотворных идей. Несмотря на уже множество найденных доказательств, теорема Пифагора заставляет искать все новые. С ее помощью можно получать Пифагоровы «тройки», знание которых необходимо при решении многих математических задач.

4 Биография. Пифагор родился ок.570 г. до н. э. на о. Самос. Его незаурядные способности проявились очень рано, и он отправился в Милет, затем в Египет. В Кротоне Пифагор основал свою школу, принципы которой достойны подражания и сейчас.

5 Различные способы доказательства теоремы Пифагора 1) Простейшее доказательство. « Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» 2)Доказательство Евклида Является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». По мнению многих является довольно сложным.

6 Различные способы доказательства теоремы Пифагора 3) Алгебраическое доказательство. Площадь квадрата находится как квадрат его стороны. С другой стороны, площадь квадрата равна сумме площадей четырех треугольников и площади квадрата со стороной с. Приравнивая эти площади и произведя алгебраические преобразования, получаем, что с 2 = а 2 + b 2. 4) Геометрическое доказательство методом Гарфилда. Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S ABED =2ABAC/2+BC 2 /2 Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S ABED =(DE+AB)AD/2. Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: ABAC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2 ABAC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2 ABAC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+ABAC BC 2 =AB 2 +AC 2.

7 Доказательство теоремы Бхаскари- Ачарна Пусть сторона большого квадрата (она же гипотенуза прямоугольного треугольника) равна с. Пусть также два его катета равны соответственно a и b. Тогда, в согласии с чертежом, (a b) 2 + (4ab)/2 = с 2, то есть с 2 = a 2 + b 2. Следовательно, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его катетов действительно равна квадрату гипотенузы.

8 Применение теоремы Пифагора вычисление длин отрезков некоторых фигур на плоскости; вычисление длин отрезков некоторых фигур на плоскости; в литературе, мобильной связи, архитектуре, астрономии; в литературе, мобильной связи, архитектуре, астрономии; пифагоровы «тройки»; пифагоровы «тройки»;

9 Важность теоремы В наши дни теорема важна и актуальна. Она применяется в геометрии на каждом шагу. О неослабевающем интересе к теореме говорит то, что до сих пор ищутся различные ее доказательства. В плане ее содержания осталось много места для новых исследований. Одним из них являются Пифагоровы «тройки». К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако я надеюсь, что моя работа доказывает огромный интерес, проявляемый по отношению к теореме Пифагора.