Показательная функция Определение. Определение. Функция, заданная формулой Функция, заданная формулой у = а х у = а х (где а >0, а 1, х – показатель степени), - презентация

1 Показательная функция Определение. Определение. Функция, заданная формулой Функция, заданная формулой у = а х у = а х (где а >0, а 1, х – показатель степени), (где а >0, а 1, х – показатель степени), называется показательной функцией с основанием а. называется показательной функцией с основанием а. 900igr.net

2 График показательной функции. При 0 1:

3 Свойства показательной функции при а>1: 1.Область определения – множество действительных чисел. 1.Область определения – множество действительных чисел. 2.Область значений – множество положительных действительных чисел. 2.Область значений – множество положительных действительных чисел. 3.Функция возрастает на всей числовой прямой. 3.Функция возрастает на всей числовой прямой. 4.При х = 0, у = 1, график проходит через точку (0; 1) 4.При х = 0, у = 1, график проходит через точку (0; 1) при 0 < а < 1: 1. Область определения – множество действительных чисел. 1. Область определения – множество действительных чисел. 2. Область значений – множество положительных действительных чисел. 2. Область значений – множество положительных действительных чисел. 3. Функция убывает на всей числовой прямой. 3. Функция убывает на всей числовой прямой. 4. При х = 0, у = 1, график проходит через точку ( 0 ; 1). 4. При х = 0, у = 1, график проходит через точку ( 0 ; 1).

4 Свойства функции При а >1, 0 1, 0 < а

5 Выполни самостоятельно! 1. Постройте график функции 1. Постройте график функции у = 3 х у = 3 х 2. Сравните числа: 2. Сравните числа: 1. 4 ² и 4³ 1. 4 ² и 4³ 2. (0,3) 2 и ( 0,3) (0,3) 2 и ( 0,3) Вычислите: 3. Вычислите: ,3 · 2 -0,7 · 4 0, ,3 · 2 -0,7 · 4 0,7 2. (27· 64 ) 1/3 2. (27· 64 ) 1/3

6 Показательные уравнения Показательными уравнениями называются уравнения вида Показательными уравнениями называются уравнения вида а f(x) = а q(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому уравнению. а f(x) = а q(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому уравнению.

7 Способы решения показательных уравнений

8 Первый способ Приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию. Пример: 2 х = 32, так как 32= 2 5, то имеем: 2 х = х = 2 5 х = 5. х = 5.

9 Второй способ Путем введения новой переменной приводят уравнение к квадратному. Пример : 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 Решение: Заметив, что 4 х =(2 2 )х=( 2 х ) 2 и Заметив, что 4 х =(2 2 )х=( 2 х ) 2 и 2 х+1 = 2 х × 2 1, запишем уравнение в виде: 2 х+1 = 2 х × 2 1, запишем уравнение в виде: (2 х )2 + 2×2 х – 24 = 0, Введем новую переменную 2 х = у; Тогда уравнение примет вид: У 2 + 2у – 24 = 0 Д = в 2 – 4 а с = 2 2 – 4×1×(–24) = 100> 0, находим у 1 = 4, у 2 = – 6. Получаем два уравнения: 2 х = 4 и 2 х = – 6 2 х = 4 и 2 х = – = 2 2 корней нет. 2 2 = 2 2 корней нет. х = 2. х = 2. Второй способ

10 Третий способ Вынесение общего множителя за скобки. Пример: 3 х –– 3 х+3 = –78 3 х –3 х ×3 3 = –78 3 х ( 1 –3 3 ) = –78 3 х ( – 26) = – 78 3 x = – 78 : ( –26) 3 х = 3 Х = 1.

11 Четвертый способ Ответ: х = -0,5, х = 0. Ответ: х = -0,5, х = 0. Графический: построение графиков функций в одной системе координат Пример: 4 х = х + 1 Пример: 4 х = х + 1

12 Выполните самостоятельно! Решите уравнения: Решите уравнения: 1) ( ) х+2 = 9 1) ( ) х+2 = 9 2) 2 х-1 = 1 2) 2 х-1 = 1 3) 2 ·2 2х – 3 · 2 х - 2 = 0 3) 2 ·2 2х – 3 · 2 х - 2 = 0 4) 2 х = х + 3 4) 2 х = х + 3 5) 4 х х = 320 5) 4 х х = 320

13 Показательные неравенства Показательными неравенствами называются неравенства вида Показательными неравенствами называются неравенства вида а f(x) > а g(x), где а – положительное число, отличное от нуля, и неравенства, сводящиеся к этому виду f(x) > g(x). а f(x) > а g(x), где а – положительное число, отличное от нуля, и неравенства, сводящиеся к этому виду f(x) > g(x).

14 показательные неравенства показательные неравенства Если а > 1, Если а > 1, то показательное неравенство то показательное неравенство а f (x) > а g (x) равносильно неравенству того же смысла а f (x) > а g (x) равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x). f(x) > g(x). Если 0 < а < 1, Если 0 < а < 1, то показательное неравенство то показательное неравенство а f (x) > а g (x) равносильно неравенству противоположного смысла а f (x) > а g (x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x) < g(x). f(x) < g(x).

15 Решение показательных неравенств 2 2х-4 > х-4 > х-4 > х-4 > 2 6 2х – 4 > 6 2х – 4 > 6 2х > 10 2х > 10 х > 5 х > 5 Ответ: х > 5 Ответ: х > 5 (0,2) х 0,04 (0,2) х 0,04 (0,2) х (0,2) 2 (0,2) х (0,2) 2 х 2 х 2 Ответ: х 2 Ответ: х 2

16 Выполни самостоятельно! х 0, х 0, ,3 7+4х > 0, ,3 7+4х > 0, х + 2 х+2 < х + 2 х+2 < х х х х+2 125

17 А. Дистервег Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением