МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМ И В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им. О. Жаутыкова, - презентация

1 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМ И В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им. О. Жаутыкова, Алматы Сайт:

2 Основные методы нахождения угла между плоскостями 1.Классический (геометрический) метод 2.Площадь ортогональной проекции 3.Угол между нормалями 4.Угол между плоскостью и нормалью к другой плоскости 5.Векторный метод 6.Теорема о трех синусах 7.Теорема косинусов для двугранного угла 8.Свойства трехгранных углов 9.Метод прямоугольного тетраэдра 1 10.Метод прямоугольного тетраэдра 2 (А. Фельдман) 11. Координатный метод

3 Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна. Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.

4

5 Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого много- угольника, умноженной на косинус угла между плоскостями много- угольника и его проекции.

6 Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна. Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.

7

8 Точка Е – внутри двугранного у α гла величиной α. EF и EG – перпендикуляры на грани угла. Найдите угол FEG равен π – α. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

9 Угол между плоскостями равен прямому углу минус угол между одной из этих плоскостей и нормалью к другой плоскости.

10 Задача 2. На ребре СD куба ABCDABCD отметили точку М – середину этого ребра Найти угол между плоскостями (ACD) и (DCM).

11 Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна. Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.

12

13 Теорема. В одной из граней двугранного угла, равного γ, проведена прямая, не параллельная его ребру и составляющая с ребром угол, равный α. Если β – угол между данной прямой и плоскостью грани двугранного угла её не содержащей, то. Теорема. В одной из граней двугранного угла, равного γ, проведена прямая, не параллельная его ребру и составляющая с ребром угол, равный α. Если β – угол между данной прямой и плоскостью грани двугранного угла её не содержащей, то.

14 Задача 3. Стороны прямоугольника равны 1 и 2. Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости π, а диагональ прямоугольника образует с ней угол, равный β. Найти угол между плоскостью π и плоскостью прямоугольника.

15 РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 1 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ СИНУСАХ

16 РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О КОСИНУСОВ ДЛЯ ДВУГРАННОГО УГЛА

17

18 РАССМАТРИВАЛСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ РАССМАТРИВАЛСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ

19 А. Фельдман, Метод прямоугольного Тетраэдра // Математика. 1 сентября, 7, 2012, с

20 РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА Пусть плоскости заданы своими уравнениями: тогда. Пусть плоскости заданы своими уравнениями: тогда.