IV МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНКУРС «МАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ» НОМИНАЦИЯ «ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ» НАПРАВЛЕНИЕ «ГЕОМЕТРИЯ» Авторы проекта: учащиеся МОУ. - презентация

1 IV МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНКУРС «МАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ» НОМИНАЦИЯ «ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ» НАПРАВЛЕНИЕ «ГЕОМЕТРИЯ» Авторы проекта: учащиеся МОУ Лицей 1 Алексеева Елена Анатольевна Полукарова Антонина Викторовна Курилина Юлия Николаевна ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ «ФРАКТАЛ» Руководитель проекта: учитель математики МОУ лицей 1 первой квалификационной категории Алексеева Елена Евгеньевна

2 IV МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНКУРС «МАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ» НОМИНАЦИЯ «ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ» НАПРАВЛЕНИЕ «ГЕОМЕТРИЯ» ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ «ФРАКТАЛ» Технический руководитель проекта: Алексеев Анатолий Иванович , Россия, Моск. обл., гор. Павловский Посад, ул. Володарского, д. 43, кв. 25 тел: 8(49643) ; 8(910) ; Руководитель проекта: учитель математики МОУ лицей 1 первой квалификационной категории Алексеева Елена Евгеньевна , Россия, Моск. обл., гор. Павловский Посад, ул. Володарского, д. 43, кв. 25 тел: 8(49643) ; 8(910) ;

3 МОУ лицей 1 Московская область, г. Павловский Посад, ул. Сенная, д.42 тел. 8(49643) факс 8(49643) ; Е-mail:

4 АННОТАЦИЯ Периодический журнал «ФРАКТАЛ» посвящен рассмотрению геометрии и как учебного предмета, и как науки. Это достигается рассмотрением материалов геометрии на плоскости и в пространстве. Так же перед читателями журнала представлен материал не входящий в учебную программу предмета, что направлено на пробуждение желания к изучению геометрии у учеников. Отмечены достижения учащихся, которые пытаются раскрыть красоту математики, и геометрии в частности. Работы этих учащихся издаются отдельными выпусками в качестве приложения к данному журналу. Материал журнала «ФРАКТАЛ» и его приложений можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету, а также для расширения их кругозора. Журнал и его приложения размещены на сайте руководителя проекта учителя математики Алексеевой Е.Е.

5 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ 2 декабрь- февраль г. ПАВЛОВСКИЙ ПОСАД МОУ ЛИЦЕЙ 1

6 В каждом номере «Фрактала» мы предлагаем читателю фотоисторию о наших современниках. «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака это не сферы, горы это не конусы, линяя берега это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно». Бенуа Мандельброт

7 Наука не является, и никогда не будет являться законченной книгой. Каждый важный успех приносит новые вопросы. Всякое развитие обнаруживает новые трудности. А. Эйнштейн Что дала математика людям? Зачем ее изучать? Когда она родилась, и что явилось причиной ее возникновения? На эти и многие другие вопросы мы попытаемся ответить. Математика возникла в глубокой древности. Существует мнение, что она возникла не только из практических потребностей людей, но и была вызвана к жизни и духовными потребностями человека. В прежние времена, вплоть до конца XIX столетия, математикой занимались не многие. Сейчас ей посвящают жизнь сотни тысяч людей. Одних вдохновляет прикладной аспект математики, других – ее внутренняя красота и гармония, а третьих привлекает и то и другое. «Красота? Какая может быть красота в математике? – недоуменно спросит ученик, не полюбивший еще этот предмет. Искусство – совсем другое дело!». Альберт Эйнштейн сказал, что «ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний, именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей науки». Не всем дано испытать это счастье, но давайте вместе попытаемся увидеть красоту математики, открыть стремление к познанию и восхищение гармонией.

8 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ 2 декабрь – февраль Одобрен творческой группой физико-математического цикла МОУ лицей 1 НОВОСТИ НОМЕРА Интеллект будущего Олимпиада, конкурсы, конференции ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Треугольник, простейший и неисчерпаемый Элементы треугольника ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Начала стереометрии Аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскости ГЕОМЕТРИЯ - «ЗЕМЛЕМЕРИЕ» Длина, площадь, объем Длина Площадь Объем

9 ГЕОМЕТРИЯ ПЛЮС АЛГЕБРА Системы координат Полярная система координат Прямоугольная декартова система координат Координаты в пространстве Криволинейная система координат Экзотические координаты на плоскости МНОГОЛИКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Фракталы Свойство самоподобия Внутренние свойства фракталов Кривая Пеано Степень сложности структуры фрактала Самовоспроизводящаяся красота МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР Портретная галерея Математики - юбиляры 2010 года Это интересно Научный руководитель: Алексеева Елена Евгеньевна учитель математики МОУ лицей 1 раб. тел./ факс 8 (49643) , раб. тел. 8 (49643) , тел. дом. 8 (49643) , тел. сот. 8 (910) РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ: Алексеева Елена Анатольевна Полукарова Антонина Викторовна Курилина Юлия Николаевна Технический руководитель: Алексеев Анатолий Иванович тел. дом. 8 (49643) , тел. сот. 8 (910)

10

11

12

13 Олимпиады, конкурсы, конференции МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНКУРС «МАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ» Подготовка работ для участия в IV Международном конкурсе «МАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ» - до 31 января 2010 года. ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «Я ПОЗНАЮ МИР» Научно-практическая конференция «Я ПОЗНАЮ МИР» ( МОУ Лицей г. Реутов) состоится в марте 2010 г.

14 Олимпиады, конкурсы, конференции ЛИЦЕЙСКИЙ ФЕСТИВАЛЬ НАУКИ «ПОЗНАНИЕ МИРА» Приглашаем Вас принять участие в подготовке и проведении лицейского фестиваля науки. Предварительные сроки проведения фестиваля 22 февраля – 3 марта 2010 ЛИЦЕЙСКАЯ НЕДЕЛЯ МАТЕМАТИКИ «ПОЗНАНИЕ И ТВОРЧЕСТВО» Приглашаем Вас принять участие в подготовке и проведении лицейской недели математики «ПОЗНАНИЕ И ТВОРЧЕСТВО». Предварительные сроки проведения 15 – 19 марта 2010 По вопросам проведения фестиваля и недели математики и со своими предложениями обращаться к учителю математики Алексеевой Е.Е.

15

16 ТРЕУГОЛЬНИК, ПРОСТЕЙШИЙ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – «землемерие» (от греческого «гео» – «земля» «метрео» – «измеряю»). Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике. Треугольник по праву считается простейшей из фигур. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Треугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 2). Рис. 1. Рис. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

17 Основные элементы треугольника ABC Вершины – точки A, B, и C; Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины; Углы – α, β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C. Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы и средние линии. Высота Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин - треугольника на противоположные стороны. Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия: 1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике); 2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов. Рис. 3. Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 3).

18 Медиана Медианы (от лат. mediana - «средняя») - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 4). Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия: 1) найти середину стороны; 2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком. Рис. 4. Биссектриса Биссектрисами (от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 5). Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия: 1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла); 2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной; 3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне. Рис. 5. А В

19 Средняя линия Средние линии - это отрезки, соединяющие середины двух сторон. Для построения средней линии необходимо выполнить следующие действия: 1) найти середины двух сторон треугольника; 2) соединить середины сторон отрезком (см. рис.6). Рис. 6. Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника (см. рис.7). Рис. 7.

20

21 НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ В своей деятельности человек повсюду сталкивается с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» -объемный, пространственный и «метрео» - измерять.

22 Простейшими основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Также стереометрия рассматривает геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками (куб, пирамида, параллелепипед и др.). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (рис. 1). Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Рис. 1.

23 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ В планиметрии основными фигурами являются точки и прямые. В стереометрии рассматривается еще одна основная фигура – плоскость. В каждой плоскости сохраняют силу теоремы и определения известные из планиметрии. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах стереометрии. Аксиома выхода в пространство Если взять четыре точки не лежащие в одной плоскости, то мы выходим в пространство, т. е. получаем третье измерение. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна (Рис. 2). Рис. 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости Рис. 3. Аксиома плоскости Аксиома пересечения плоскостей Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая (Рис. 3).

24 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (Рис. 4). 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Рис. 4. Следствия из аксиом

25 Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Параллельность трех прямых Из курса планиметрии известно, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Это свойство сохраняется и в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Параллельность прямой и плоскости Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит в плоскости; б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются; в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТИ Параллельные прямые в пространстве

26 Рис. 5. Параллельность прямой и плоскости Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода – они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка – эта линия параллельна плоскости пола. В плоскости пола есть прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной. Значит наличие в плоскости прямой, параллельной данной прямой, не лежащей в плоскости, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Таким образом, можно утверждать, что: 1. если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой; 2. если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости (Рис. 5).

27

28 ДЛИНА, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ ДЛИНА Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками. На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины. Длину отрезка определяют с помощью процесса измерения, описанного великим древнегреческим математиком Архимедом более 2 тысячелетий назад. Пусть AB -измеряемый отрезок, а PQ - единица длины. Будем последовательно откладывать на AB (от точки А по направлению к точке В отрезки, равные единице измерения. После некоторого числа таких операций либо конец последнего совпадет с точкой В, либо получится остаток, меньший единицы измерения (этот факт составляет содержание аксиомы Архимеда). (Рис. 1). Затем начинаем откладывать на остатке КВ десятую часть единицы измерения. Если такая точность нас не устраивает, тогда будем откладывать сотую часть единицы измерения и т. д. Рис. 1.

29 Итак, выбрав какую-нибудь единицу длины - отрезок L. Мы с помощью процесса измерения сопоставляем каждому отрезку S определенное число - его длину l (S), т. е. задана числовая функция l (S) на множестве всех отрезков. Важнейшие свойства данной функции: 1. положительность: длина любого отрезка (не сводящегося к одной точке) положительна. 2. аддитивность (от лат. addition - «сложение»): если точка M разбивает отрезок S = AB на две части AM и MB, то длина всего отрезка равна сумме длин частей: |AB| = |AM| + |MB|. 3. инвариантность (от лат. invariant - «неизменяющийся»): если два отрезка S1 и S2 равны, то их длины равны: l (S1) = l (S2). 4. нормировка - выбор некоторого отрезка в качестве единицы длины.

30 Метрические меры и единицы длины Таблица 1. Таблица 2.

31 Рис. 3. Представим, что такая палетка лежит на плоскости. Иначе говоря, плоскость разбита на квадраты со стороной 1. Если фигура F полностью помещается в фигуре, составленной, например, из 81 квадрата палетки, и содержит фигуру из 43 квадратов (Рис. 2), то 43 s(F) 81. Если каждый квадрат палетки разбить на 100 квадратов, а затем квадрат второй палетки также разбить на 100 квадратов, то точность измерения увеличится. Используя набор палеток со все более мелкой сеткой, мы будем приближаться к пределу – площади s(F) фигуры F. В этом случае фигуру F называют квадрируемой (по Жордану), а число s(F) – площадью фигуры. Все фигуры, которые можно сколь угодно точно приблизить многоугольниками квадрируемы по Жордану (Рис. 3). Площадь s(F) фигуры F есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Площадь фигуры F можно измерить с помощью палетки – прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов. Этот способ измерения площадей предложил в XIX в. французский математик Камиль Жордан. Рис. 2. ПЛОЩАДЬ

32 Обозначим через Q множество всех квадрируемых плоских фигур, тогда площадь s(F) есть числовая функция, определенная на данном множестве. Свойства данной числовой функции: 1. неотрицательность: площадь любой квадрируемой фигуры F неотрицательна: s(F) аддитивность (от лат. addition – «сложение»): пусть F 1 и F 2 – две квадрируемые фигуры, у которых нет общих внутренних точек. Обозначим через F объединение этих фигур. Тогда фигура F квадрируема и справедливо равенство s(F) = s(F 1 ) + s(F 2 ). 3. инвариантность (от лат. invariant – «неизменяющийся»): если две квадрируемые фигуры F 1 и F 2 равны, то площади таких фигур равны: s(F 1 ) = s(F 2 ). 4. нормируемость – при определении площади фигуры задается некоторая единица площади – квадрат К, сторона которого равна единице длины: s(К) = 1.

33 ОБЪЕМ Объем пространственных тел определяется аналогично площади плоских фигур. Вместо палеток используют кубильяжи, т. е. пространство разбивают плоскостями на равные кубы. Сначала рассматривают разбиение на кубы с ребром, равным единице длины (Рис. 4). Если тело, составленное из а 1 таких кубов, целиком входит в измеряемое тело М, а тело из b 1 кубов содержит тело М, то для объема v(М) тела М справедливы неравенства а 1 v(М) b 1. Затем берут кубильяж, в котором ребро куба равно 1/10 и получают более тесное неравенство а 2 v(М) b 2 и т. д. Тело называется кубируемым, если пересечение всех полученных отрезков содержит единственное число, которое и принимают за объем v(М) тела М. Таким образом, объем – это функция v(М), определенная на множестве G всех кубируемых тел. Из определения объема следует, что всякий многогранник – кубируемое тело. Объем как числовая функция, определенная на множестве G имеет свойства, которые формулируются точно так же, как и в случае площади (с очевидной заменой слов «квадрируемый» на «кубируемый», «единичный квадрат» на «единичный куб»). Рис. 4.

34 Таблица 3. Метрические меры и единицы объема и вместимости

35

36 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Система координат – комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, называется координатами этой точки. определяющих положение конкретной точки, В математике координаты – совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа. В элементарной геометрии координаты – величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. В географии координаты – широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). В астрономии координаты – величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение. Небесные координаты – числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. Наиболее используемая система координат – прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.

37 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Прямая линия одномерна, а плоскость двумерна. Поэтому если точку на прямой можно задать одним-единственным числом, то точку на плоскости – уже двумя числами. Отметим на плоскости произвольную точку О – назовем ее полюсом. Проведем произвольный луч Ох – полярную ось. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами: 1). положительным числом r, которое является длиной отрезка ОМ, 2). углом φ наклона этого отрезка к полуоси Ох. Рис. 1. Отрезок ОМ = r называется полярным радиусом точки М, угол хОМ = φ – полярным углом. Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным – при отсчете по часовой стрелке. Пара чисел (r; φ) – полярные координаты точки М. Каждой паре (r; φ) соответствует в полярной системе координат единственная точка М. Обратное утверждение неверно.

38 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ На плоскости используется прямоугольная система координат. На плоскости положение точки определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке О (начале координат) под прямым углом. Ось абсцисс или ось Ох располагается горизонтально, а ось ординат или ось Оу – вертикально. Положительными считают направления осей соответственно слева направо и снизу вверх. Возьмем любую точку М плоскости и спроектируем ее на обе оси. Координаты проекций на осях (их называют абсциссой – х и ординатой – у) и будут той самой парой чисел, которая ставится в соответствие точке М. Это соответствие взаимно однозначно и обозначается для произвольной точки М плоскости через М (х;у) (Рис. 2). Все точки на оси абсцисс имеют нулевую ординату, а все точки на оси ординат – нулевую абсциссу. Координатные оси разбивают всю плоскость на четыре части, которым соответствует свое сочетание знаков координат. Эти части называются квадрантами и пронумерованы так, как указано на рис. 3. Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также – Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Рис. 3. Рис. 2.

39 В пространстве наиболее широко применяются три системы координат. Первая из них – прямоугольная, или декартова. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу. В ней три попарно перпендикулярные оси: абсцисс – х, ординат – у, аппликат – z. Положение произвольной точки М определяется координатами ее проекций на все эти оси – х, у и z (Рис. 4). Рис. 4. Рис. 5. Вторая, цилиндрическая система координат представляет собой нечто среднее между прямоугольной и полярной системами. Построим на плоскости α полярную систему координат и проведем через полюс О числовую ось Оz, перпендикулярную плоскости α. Спроектировав произвольную точку М пространства на плоскость, найдем две координаты (угол φ и расстояние R до полюса) этой проекции в полярной системе координат, а третью координату (z) получим, спроектировав точку М на ось Оz (Рис. 5). КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

40 Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x 2 + y 2 = c 2, а в цилиндрических очень простое уравнение ρ = c. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая». Рис. 6. Точка в цилиндрических координатах. Третья, сферическая система координат. Она похожа на цилиндрическую: в ней также имеются плоскость α с полярной осью и дополнительная ось Оz, перпендикулярная плоскости α. Три координаты (r, θ, φ ) определены как: r 0 - расстояние от начала координат до заданной точки P. 0 0 θ угол между осью Z и отрезком, соединяющим начало координат и точку P. 0 0 φ угол между осью X и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P, на плоскость XY (в Америке углы θ и φ меняются ролями). Угол θ называется зенитным, или полярным, или нормальным, а так же он может быть назван английским словом colatitude, а угол φ - азимутальным. Углы θ и φ не имеют значения при r = 0, а φ не имеет значения при sin(θ) = 0 (то есть при θ = 0 0 или θ = ).

41 Сферическая система координат наиболее близка к географической, но отличается от нее тем, что на глобусе угол θ отсчитывается не от вертикальной оси, а от горизонтальной плоскости, в которой лежит экватор. Кроме того, в географической системе добавлены понятия «северная (южная) широта» и «восточная (западная) долгота», чтобы указать направление отсчета углов. Это позволяет обойтись без отрицательных значений Географические координаты определяют положение точки на земной поверхности (в узком смысле) или, более широко, в географической оболочке. Система небесных координат используется в астрономии для описания положения светил на небе или точек на воображаемой небесной сфере. Координаты светил или точек задаются двумя угловыми величинами (или дугами), однозначно определяющими положение объектов на небесной сфере. Таким образом, система небесных координат является сферической системой координат, вкоторой третья координата - расстояние - часто неизвестна и не играет роли. Рис.8. Координатная сфера.

42 КРИВОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Криволинейная система координат, или криволинейные координаты в математике – система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты противопоставляются прямолинейным: декартовым, а также косоугольным. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости. Рис. 9. Криволинейные координаты в трёхмерном аффинном пространстве. Параболические координаты ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии. Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла. На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость XY вдоль оси z и называются цилиндрические параболические координаты. Рис. 10. Параболические координаты. Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии. Рис.11. Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует τ = 2, синий параболоид соответствует, а жёлтая полуплоскость соответствует φ = Три поверхности пересекаются (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно (1; 0; -1,732; 1,5). Рис. 11. РАЗЛИЧНЫЕ ЭКЗОТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ (n = 2)

43

44

45 Известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) рискнул предположить, что внутри капли воды могут умещаться целые вселенные со своими планетами, на которых предаются важным размышлениям философы, такие же, как и на нашей Земле. Валерий Брюсов в стихотворении «Мир электрона» (1922 г.) облек эту мысль в поэтическую форму: Быть может, эти электроны – Миры, где пять материков, Искусства, знанья, войны, троны И память сорока веков! Еще, быть может, каждый атом – Вселенная, где сто планет; Там все, что здесь, в объеме сжатом, Но также то, чего здесь нет. Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии. Что же такое фрактал? Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Основным свойством фракталов является способность к самоподобию. ФРАКТАЛЫ

46 СВОЙСТВО САМОПОДОБИЯ Самоподобной геометрической фигурой называют фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Самоподобными, например, являются правильный треугольник и квадрат (Рис. 1). Рис. 1. Но существуют и самоподобные фигуры весьма причудливых очертаний. На рис. 2 показаны первые несколько стадий построения «веточки». Это простейшая самоподобная фигура, имеющая неограниченное число элементов. Она строится следующим образом. Исходный отрезок делят на три равные части, и из точек деления под углом 45 0 проводят отрезки, составляющие 1/3 длины исходного отрезка. Затем ту же процедуру повторяют по отношению к вновь построенным отрезкам и т. д. Рис. 2.

47 Аналогичное свойство самоподобия обнаруживают многие объекты в природе, стоит только повнимательнее присмотреться к ним: к линиям трещин в земной коре, ветвлениям деревьев, очертаниям гор, облаков и коралловых рифов. Деревья, как и многие другие объекты в природе, имеют фрактальное строение. Слева – фотография дерева. Справа – искусственная фрактальная структура, генерируемая итерационными уравнениями. По внешнему виду она очень напоминает живое дерево. Отчетливо видна структура ветвей, повторяющаяся во все более и более мелких масштабах (Рис. 3). Рис. 3.Ель.Крымская сосна. Рис. 4. Фрактальная ветка.Фрактальный куст.Фрактальная ель.

48 ВНУТРЕННИЕ СВОЙСТВА ФРАКТАЛОВ Внутренние свойства фракталов удобно описывать числовой характеристикой, получившей название фрактальной размерности. Проведем несложный эксперимент. Возьмем лист чистой миллиметровой бумаги и начертим на нем произвольный прямолинейный отрезок (Рис. 5). Подсчитаем количество клеточек с длиной стороны 1 см и количество клеточек с длиной стороны 1 мм, через которые проходит этот отрезок. Получилось, что покрывающих отрезок миллиметровых клеток оказалось в десять раз больше, чем сантиметровых. Результат можно представить: во сколько раз уменьшили измерительную клетку, во столько раз увеличилось общее число таких клеток. Подобную закономерность мы обнаружим, исследовав периметры треугольника, параллелограмма или круга. Но это свойство присуще не любой линии на плоскости. Рис. 5.

49 В 1890 г. итальянский математик Джузеппе Пеано построил линию, которую сегодня мы относим к фракталам и называем кривой Пеано. Начальные этапы построения этой кривой показаны на рис. 6. Процесс дробления ее звеньев можно продолжать и дальше. Кривая Пеано обладает свойством: как бы мы ни дробили измерительную сетку - в любом ее мельчайшем квадратике окажутся точки кривой. Получается, что количество квадратиков с размером стороны d, покрывающих кривую Пеано, пропорционально не 1/ d, как для обычных, «благообразных» линий, а 1/ d 2. Кривая Пеано - экзотика, причуда, фантазия изобретательного математического ума. Позже ученые обнаружили реальные объекты, которые, как и кривая Пеано, не укладывались в привычные представления практической геометрии. Одним из первых с ними столкнулся английский естествоиспытатель Л. Ричардсон ( ), исследовавший очертания береговых линий. Оказалось, что измеряемая длина побережья L пропорциональна 1/d α, где d - длина стороны квадрата масштабной сетки, а показатель α характеризует степень изрезанности берега. Изломы и шероховатости линии берега, которые видны на картах крупного масштаба, постепенно исчезают по мере его уменьшения. Если мы измерим длину береговой линии на картах разного масштаба, то увидим, что она тем больше, чем крупнее масштаб. КРИВАЯ ПЕАНО Рис. 6.

50 СТЕПЕНЬ СЛОЖНОСТИ СТРУКТУРЫ ФРАКТАЛА Метод, которым определяют степень изрезанности или сложности фрактала, восходит к понятию размерности, предложенному в 1919 г. немецким математиком Феликсом Хаусдорфом. Представим себе объект сложной формы, сплошь покрытый квадратиками, как миллиметровая бумага. Число N квадратиков содержащих точку объекта, зависит от формы последнего и длины стороны квадратной ячейки d. Если N пропорционально 1/dα, то показатель степени α объявляется размерностью объекта. На практике размерность объекта удобно определить, нарисовав график зависимости функции lnN от - lnd. Этот график изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой и будет размерностью α.

51 Глубочайшее эмоциональное воздействие на людей оказывают творения, возникшие на самом гребне научно-технического прогресса конца XX века. Человеку, впервые созерцающему фантастические узоры трудно поверить, что выполнила их не обладающая воображением бесчувственная машина, следуя несложному математическому замыслу. Открыл узоры французский математик Бенуа Мандельброт. Его творения – прекраснейшие представители богатого мира фракталов. Среди причудливой вязи орнаментов, уходящих в бесконечную глубину, среди завитков, спиралей всякий раз перед нами открывается картина изумительной красоты, и появляются во много раз уменьшенные копии изначального множества Мандельброта. А в целом возникает бесконечно самовоспроизводящаяся красота, т. е. фрактал (Рис. 7). Рис. 7. Отдельные проекции множества Мандельброта. САМОВОСПРОИЗВОДЯЩАЯСЯ КРАСОТА

52 Блики на воде Акварели рекиТрава над прудом

53

54

55 1600 лет ПРОКЛ ДИАДОХ (ок. 410 – 17 апреля 485) Время жизни Прокла восстанавливается по источникам как 410 – 485 гг. Биограф Прокла Марин приводит его гороскоп, по астрономическим данным которого дата рождения Прокла определяется как 8 февраля 412 г. Греческий математик и философ. Ученик Плутарха. В трактате по физике изложил учение Аристотеля о движении. Написал комментарии к философским сочинениям Платона. Прокл является последователем традиционного платоновского учения, согласно которому математические предметы занимают срединное положение между миром идей и миром чувственно воспринимаемых вещей. Геометр при доказательстве теоремы указывает на начерченный параллелограмм, однако мыслит он при этом «параллелограмм вообще», не имеющий определённых пропорций и размеров. Теорема о параллелограмме только тогда заслуживает имени теоремы, когда она справедлива для всего вида параллелограммов. Среди геометрических работ Прокла известны трактат «О шаре» и «Комментарии на первую книгу «Начал» Евклида». Прокл дал отличную от Евклида формулировку постулата о параллельных и предпринял одну из первых попыток его доказательства. ПОРТРЕТНАЯ ГАЛЕРЕЯ МАТЕМАТИКИ – ЮБИЛЯРЫ 2010 ГОДА

56 900 лет КИРИК НОВГОРОДЕЦ (1110 – ок. 1157) Первый известный по имени древнерусский математик, монах Антониева монастыря в Новгороде, руководитель церковного хора монастырской церкви Святой Богородицы. Автор наиболее древнего русского математического сочинения, дошедшего донас полностью – «Наставления, как человеку познать счисление лет» (1136 г.). Посвящено оно арифметико-хронологическим расчетам и содержит оригинальную русскую пятеричную систему деления часа. Кирик систематизирует известные ему способы вычисления лет, месяцев, дней и часов от «сотворения мира», проводит сложнейшие для того времени математические вычисления, свободно оперирует суммами в пределах десятков миллионов. Уровень математических знаний Кирика соответствовал уровню знаний византийских и западноевропейских вычислителей. Он владел четырьмя действиями арифметики, оперировал дробными числами и имел понятие о геометрической прогрессии. Сочинение Кирика является неожиданным свидетельством высокого уровня математических знаний в Древней Руси. Собор Рождества Богородицы Антониева Лист «Учения о числах» монастыря в Новгороде, заложен ок года Кирика Новгородца

57 ГЕОМЕТРИЯ МЫЛЬНЫХ ПУЗЫРЕЙ Как соединить два мыльных пузыря, чтобы минимизировать их суммарную площадь поверхности (включая перегородку)? Ответ на этот вопрос интуитивно очевиден, но строгое математическое решение этой задачи было дано лишь в 2000 году. Тот же вопрос для трех и более пузырей до сих пор остается открытым. Немногим лучше обстоит дело и в плоском случае. Несмотря на все достижения математики, геометрия пузырьковых кластеров остается очень сложной задачей. Этим вопросом занимается интересный раздел геометрии – решение изопериметрических задач. Простейшая изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди всех плоских замкнутых фигур одинакового периметра (что и дало название всем таким задачам) найти такую, которая охватывает наибольшую площадь. Чуть иная формулировка той же задачи: среди всех плоских фигур, охватывающих заданную площадь, найти фигуру с наименьшим периметром. Утверждается, что еще древние греки понимали, что такой фигурой будет окружность. А вот задача посложнее: найти фигуру, которая ограничивает и разделяет два участка заданной площади и при этом имеет наименьшую суммарную длину периметров (а точнее, суммарную длину ограничивающих и разделяющих кривых). Интуитивно кажется очевидным, что это будут два «слипшихся круга», но доказать это со всей строгостью математикам удалось лишь в 1993 году. Аналогичная задача для трех участков заданной площади поддалась математикам лишь в 2004 году. ЭТО ИНТЕРЕСНО

58 Вопрос о форме кластера, охватывающего четыре или больше участков плоскости заданной площади и минимизирующего суммарный периметр, до сих пор остается открытым. Конечно, эту задачу можно попытаться решить на компьютере, но, к сожалению, никогда нельзя быть абсолютно уверенным, что компьютер нашел самую оптимальную структуру. Кто знает, может быть существует кластер очень хитрой геометрии с еще меньшим суммарным периметром, который компьютер просто «не заметил»? Еще более удивительна история поиска минимальных поверхностей в трехмерном пространстве – то есть таких замкнутых фигур, которые, охватывая N фиксированных объемов, имеют минимальную площадь поверхности. Интуиция подсказывает, что для N = 1 это будет просто сфера, для N = 2 – как бы два слипшихся мыльных пузыря, для N = 3 – три пузыря, слипшихся в виде треугольника и т. д. Однако доказать это математически строго оказывается еще более трудным занятием. Например, строгое доказательство того, что при заданном объеме сфера действительно обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, было дано в 1884 году. Задача для N = 2 была решена только в 2000 году. Задача для N = 3 до сих пор остается нерешенной. Пузырчатые системы часто встречаются в природе. Это не только сами мыльные пузыри, но и разнообразные пены, пористые среды и даже живые организмы. Кроме этого, пузыри и пены иногда служат удобной физической моделью для изучения какого-то более абстрактного явления в природе. поэтому изопериметрические задачи встречаются и в природе.

59 ЛИТЕРАТУРА 1. Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, – 639 с.: ил. 2. Ван - дер - Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. Геометрия. Старинные и занимательные задачи. – М.: Просвещение, – 176с.: ил. 4. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение,2008. – 159 с.: ил. 5. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», – 506 с.: ил. 7. Смирнова И. М., Смирнов В. А.Изображение пространственных фигур. 10 – 11 классы. – М.: Мнемозина, –62с. 8. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Многоугольники. 9 класс. – М.: Мнемозина, – 64 с. 9. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5–6 кл. – М.: Дрофа, 2007.– 189 с. 11. Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, – 208с. 12. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил. 13. Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, – Автор-составитель В. Балязин. – 848 с