{ литература - предмет изучения – история - обозначения и символы - множества и операции над множествами - объединение множеств - пересечение множеств. - презентация

1 { литература - предмет изучения – история - обозначения и символы - множества и операции над множествами - объединение множеств - пересечение множеств - взаимно-однозначное соответствие между множествами - счетные множества - декартово произведение - алгебраические системы - группы, кольца и поля - иерархия числовых множеств - действительные числа - абсолютная величина - свойства - примеры }

2 Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - 9-ое изд. -М.: Наука, с. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учебник для вузов, - ФИЗМАТЛИТ, Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.1. - М.: Дрофа, Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. - М., 2003

3 Линейная алгебра – раздел алгебры в которой изучаются векторные пространства, включая матрицы. Математика - Mathema ( ) - познание, наука. Алгебра - الجبر, аль-джабр - восполнение - раздел математики, где изучаются операции над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел. Алгебраическая система - упорядоченная пара множеств A ( R, E ). Первое множество ( R ) - элементы какой либо природы (числа, понятия). Второе множество ( E ) - операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Абстрaктная алгебра (высшая алгебра или общая алгебра) раздел математики, изучающий алгебраические системы (алгебраические структуры), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, а также отображения между такими структурами.

4 John Wallis ( ) Sir Isaac Newton (1643 – 1727) Descartes René ( ) Начиная с 16 века алгебра начинает быстро развиваться, благодаря работам Декарта, Валлиса и в особенности Ньютона. после разработки Декартом аналитической геометрии, алгебра входит в тесную связь с геометрией, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. Труды Эйлера и Лагранжа, изложенные в "Novi Commentarii" и в "Traite de la resolution des equations", довели алгебру до высокой степени совершенства. Работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли, Сильвестера, Кронекера, Эрмита и др. придали алгебре высокую степень изящества и простоты. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

5 для каждого; для любого; для всех (all) Для сокращения записи используются следующие обозначения: существует; найдется (exists) такой, что; такие, что по обозначению равно соответствует, поставлено в соответствие следует равносильно

6 Множество - произвольно определяемая совокупность объектов. Если объект x принадлежит множеству M, то пишут. При этом x называется элементом или точкой множества M. M M Если множество N состоит из тех же элементов, что и множество M, то N называется подмножеством множества M : N содержится в M.

7 Подмножество пар называется соответствием (отношением) элементам множества A элементов множества B. Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов : Свойства равенства: Если, то соответствие называется соответствием на A. Например: знакомство людей друг с другом. Декартовым произведением называется множество упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй - B

8 Пересечение (умножение) A A B B Объединение (сумма) AB A A B B A + B Разность A A A\BA\B A\BA\B B B Дополнение Прямое произведение

9 @ Пусть C – множество процессоров, F – числовое множество частот ядра. Каждому процессору соответствует несколько значений f 1, f 2,... частот, на которых оно может работать:,..... Это означает, что пары ( c, f 1 ), ( c, f 2 ),.... принадлежат множеству, которое является соответствием процессоров и их частот. Неработающему процессору не соответствует ни одна частота. Количество ядер444 Частота ( f ) 3,20 ГГц2,93 ГГц2,66 ГГц

10 @ {0, 1, 2} 3, 3 3 = 27 элементов Найти 3-кратное декартово произведение X 3 : { 0, 1, 2 } 3. Найти и если Решение

11 @ Даны множества,,. Решение Найти прямое произведение. Декартовым произведением M 2 x M 3 x M 1 является множество упорядоченных троек (x,y,z), где Даны множества x y 0 Найти произведение.

12 Отображением из множества А в B называется соответствие, которое каждому элементу сопоставляет элемент Отображением множества А x A в A называют бинарной алгебраической операцией на множестве A. Образ пары записывают как. Естественными примерами алгебраических операций являются сложение + и умножение. чисел. Пример: проверить, что вычитание - является алгебраической операцией на множествах Z, Q, R, но не является таковой на множестве N.

13 @ Решение Дано множество чисел вида, где. Найти обратное число для относительно операции умножения. По определению элемент a является обратным элементу b M, если :,. - обратный элемент

14 Основными объектами изучения в алгебре являются алгебраические системы – множества с заданными на них операциями. Главное значение имеют свойства заданных на множествах алгебраических операций. Система называется группой, если выполняются следующие условия: - асоциативность - существование нейтрального элемента - существование обратного элемента Если дополнительно выполняется условие: - коммутативность то группа называется абелевой.

15 @ Решение Относительно каких операций множество вырожденных матриц порядка 2 образует абелеву (коммутативную) группу ? Группа – множество G с одной операцией, ассоциативной, причем для этой операции должна существовать обратная операция. Если операция, определенная в группе G коммутативная, то G – абелева группа. Относительно сложения + ? Относительно умножения * ? Относительно деления / ?При транспонировании матриц A -1 ? Только для операции сложения группа G – абелева. A + B = B + A. Для операции умножения не выполняется условие. Операция транспонирования не является бинарной. Для операции деления нужно умножать на обратную матрицу, а ее нет.

16 Знак операции определяет аддитивную и мультипликативную терминологии. - абелева группа - дистрибутивность мультипликативность аддитивность Множества абелевы группы относительно сложения, - относительно умножения. Система называется кольцом, если выполняются условия: Если - абелева группа, то кольцо R называется полем.

17 @ Какую алгебраическую структуру образует множество Z ? Решение Множество Z - множество целых чисел, получаемое из множества натуральных числе N добавкой нейтрального и обратного элемента относительного сложения и нейтрального элемента относительно умножения. Таким образом множество Z является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей Z - абелева группа и выполняется дистрибутивный закон.

18 Структура - натуральные числа с заданными ней стандартными бинарными операциями сложения и умножения и отношением

19 @ Решение Определена ли операция деления для всех ненулевых элементов множества многочленов P n ? Для множества рациональных чисел Z ? На множестве M задана бинарная операция, если указано правило сопоставления некоторым парам элементов из M, взятым в определенном порядке, элемент из того же множества M. На множестве рациональных чисел операция деления возможна. Для многочленов это не выполняется. При их делении частное может не быть многочленом.

20 - коммутативность сложения - ассоциативность сложения - нейтральный элемент : ноль - обратный элемент - коммутативность умножения - ассоциативность умножения Множество R - совокупность всех таких сечений. Пусть ( M, < ) – линейно упорядоченное множество. Если M можно представить в виде объединения множеств А и B таких, что для имеет место то пара (A,B) называется сечением множества M : A|B. Свойства действительных чисел

21 - дистрибутивность - транзитивность - связность - связь + и < - связь. и < - нейтральный элемент : единица - обратный элемент - антирефлексивность /

22 Если ограничено сверху, то существует ; если ограничено снизу, то существует. Эта теорема эквивалентна аксиоме непрерывности Если A|B – сечение R, то - непрерывность, полнота Структура ( R,