DSP Лекция 3 Digital Signal Processing. DSP Дискретные сигналы и системы Дискретизация сигналов с непрерывным временемДискретизация сигналов с непрерывным. - презентация

1 DSP Лекция 3 Digital Signal Processing

2 DSP Дискретные сигналы и системы Дискретизация сигналов с непрерывным временемДискретизация сигналов с непрерывным временем – дискретизация аналоговых видеосигналов; – теорема отсчетов; – дискретизация радиосигналов; Частотно – временная деформация дискретного сигналаЧастотно – временная деформация дискретного сигнала – уменьшение частоты дискретизации (децимация, прореживание); – увеличение частоты дискретизации (интерполяция).

3 DSP Дискретные сигналы и системы Дискретизация сигналов с непрерывным временем Рассмотрим аналоговый сигнал x(t), имеющий спектр – преобразование Фурье (НВПФ) X(j ): Говорят, что последовательность x(n) со значениями х(п) = x(nT) = x(t) t=nT получена из x(t ) периодической дискретизацией, а Т называется периодом дискретизации. Величина, обратная Т, называется частотой дискретизации F д =1/T или скоростью дискретизации. Чтобы определить, в каком смысле х(п) представляет исходный сигнал x(t), удобно связать X(j )- преобразование Фурье аналогового сигнала x(t) с X(e j T )- преобразованием Фурье последовательности х(п). (1.22) (1.23)

4 DSP Дискретные сигналы и системы Для последовательности х(п) пару ДВПФ запишем в виде: Идеализированную процедуру периодической дискретизации аналогового сигнала x(t) представим в виде импульсного сигнала непрерывного времени x д (t): который содержит только отсчеты х(п) = x(nT). Преобразование Фурье X д (j ) сигнала x д (t) равно и, очевидно, совпадает с ДВПФ X(e j T ) последовательности х(п). (1.24) (1.25)

5 DSP Дискретные сигналы и системы Поэтому X(e j T ) можно выразить в виде свертки преобразований Фурье сомножителей x(t) и, образующих x д (t). Учитывая, что преобразование Фурье сигнала есть периодическая с периодом д =2 T последовательность дельта-функций частоты, равная свертка примет вид:

6 DSP Дискретные сигналы и системы Из соотношения (1.27) следует, что ДВПФ последовательности х(п) представляет собой периодически с периодом д размноженное по оси частот преобразование Фурье (НВПФ) сигнала непрерывного времени x(t). Графическое отображение спектров сигналов представлено на рис.1. Если спектр X(j ) аналогового сигнала имеет ограниченную локализацию по оси частот, например, в диапазоне частот ( в =2 F в - верхняя частота спектра), как это представлено на рис.1.а, то спектр X(e j T ) дискретизованного сигнала, полученного при выполнении условия в 2F в ), будет иметь вид, представленный на рис.1в, когда соседние спектральные полосы не перекрываются. Если период дискретизации выбран слишком большим, таким, что в > / T (F д

7 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок. 1. a) Аналоговый сигнал и преобразование Фурье аналогового сигнала б) последовательность дельта импульсов, использованных для дискретизации и ее спектр в) дискретный сигнал, полученный при периодической дискретизации, и его преобразование Фурье; г) период дискретизации мал настолько, что периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала не перекрываются; д) период дискретизации велик, и поэтому периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала перекрываются; а) б) в) г) д) осциллограммыспектры

8 DSP Дискретные сигналы и системы Из рис.1в,г и соотношения (1.27) видно, что при частоте дискретизации, по крайней мере, вдвое большей верхней частоты спектра X(j ) ( ), справедливо соотношение т.е. спектр X(e j T ) совпадает со спектром X(j ) и, следовательно, по дискретной последовательности х(п) можно восстановить исходный аналоговый сигнал x(t). Это утверждение составляет содержание так называемой теоремы отсчетов (в отечественной литературе часто именуемой теоремой Котельникова). Общепринятая формулировка теоремы отсчетов такова: произвольный сигнал непрерывного времени, спектр которого не содержит частот выше Fв Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчеты этого сигнала, взятые через равные промежутки времени T, удовлетворяющие соотношению. (1.28)

9 DSP Дискретные сигналы и системы Сделаем замечание относительно выбора шкалы частот при спектральных представлениях дискретных последовательностей. В соотношениях (1.24) и (1.25), соответствующих паре ДВПФ, мы использовали аналоговые частоты, измеряемые в радианах/секунду. Аналоговые частоты F, измеряемые в герцах (1/c), определяются как F=. В соотношениях для ДВПФ использованы цифровые частоты = = F д, измеряемые в радианах, которые можно трактовать как аналоговые, нормированные к частоте дискретизации. В дальнейшем мы в основном будем использовать именно цифровые частоты вместе с цифровыми безразмерными частотами f = F/F д. Переход от цифровых частот к аналоговым осуществляется умножением на частоту дискретизации. (1.19) (1.20)

10 DSP Дискретные сигналы и системы Найдем интерполяционную формулу для восстановления x(t) по x(n). Учитывая соотношения (1.22), (1.25) и (1.28) получим Представление аналогового сигнала в виде (1.29) справедливо только для функций с ограниченным спектром при достаточно малом T, т. е. отсутствии эффекта наложения. Если в > / T (F д

11 DSP Дискретные сигналы и системы Техническая реализация операции восстановления аналогового сигнала по его отсчетам может быть выполнена пропусканием импульсного сигнала x д (t) через идеальный фильтр нижних частот, пропускающий без искажений полосу частот (Рис.2) ФНЧ x д (t) x(t) Рисунок 2.

12 DSP При дискретизации аналоговых видеосигналов с неограниченным спектром X(j ) 0, в, можно уменьшить влияние эффекта наложения спектров, если аналоговый сигнал перед подачей на устройство дискретизации (АЦП) пропустить через фильтр нижних частот (ФНЧ) с целью ограничения его спектра диапазоном частот < / T.(Рис.3) При этом останутся лишь искажения, связанные с отбрасыванием хвостов спектра.(Рис.4). Эта процедура низкочастотной фильтрации целесообразна и в случае, когда дискретизуемый сигнал смешан с широкополосной помехой, с тем, чтобы после дискретизации не ухудшалось отношение сигнал/помеха вследствие эффекта наложения.(Рис.5) Дискретные сигналы и системы ФНЧ T x(t) Рисунок 3.

13 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 5. Рисунок 4.

14 DSP Дискретные сигналы и системы Рассмотрим особо дискретизацию во времени аналоговых радиосигналов, которые могут быть представлены в виде x(t)=a(t)cos[ 0 t+ (t)] и спектр которых локализован в полосе частот в окрестности средней частоты 0.(Рис.6) Таким образом представляются, например, сигналы, получаемые при модуляции гармонического колебания с частотой 0 по амплитуде и (или) углу (частоте, фазе) некоторым низкочастотным сигналом. Рисунок 6. X(j ) 0 0

15 DSP Дискретные сигналы и системы Покажем, что узкополосные радиосигналы можно дискретизовать, образуя отсчеты с периодом, где - ширина спектра радиосигнала. Для этого запишем x(t) в виде где - комплексная огибающая радиосигнала. Поскольку, следовательно,

16 DSP Дискретные сигналы и системы На рис.7 графически отображены спектр X(j ) сигнала x(t) и спектр Z(j ) комплексной огибающей z(t). Рисунок 7.

17 DSP Дискретные сигналы и системы Итак, при известной частоте 0 дискретизация узкополосного сигнала эквивалентна процессу образования выборок его комплексной огибающей с периодом, по которым этот сигнал может быть восстановлен без искажений. Заметим, что выборки комплексной огибающей, т.е. комплексная последовательность z(n) = z(t) t=nT = z(nT) = a c (nT) + j a s (nT) есть совокупность действительных последовательностей a c (n) = a c (t) t=nT =a c (nT) и a s (n) = a s (t) t=nT = a s (nT). Поэтому при дискретизации радиосигнала x(t) можно предварительно выделить из него низкочастотные сигналы a c (t) и a s (t), например, с помощью двухканальной схемы, представленной на рис.8, и называемой блоком квадратурного разложения, с последующей их периодической дискретизацией. Каждый из каналов схемы состоит из перемножителя входного сигнала x(t) с опорным – гармоническим колебанием с частотой 0 и фильтра нижних частот Ф с полосой пропускания 0 - /2, причем опорные колебания каналов сдвинуты по фазе на /2.

18 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 8. Блок квадратурного разложения аналогового радиосигнала. T a c (nT) T a s (nT) ac(t)ac(t) as(t)as(t)

19 DSP Дискретные сигналы и системы Частотно-временные деформации дискретного сигнала Для сигнала непрерывного времени свойство частотно- временной деформации состоит в следующем. Если спектр (преобразование Фурье) сигнала x(t) равен X(j ), то для сигнала x(Mt) спектр изменяется к виду (1/M)X(j /M). Другими словами, растяжение сигнала во времени (M 1) растягивает его спектр по оси частот, что также сопровождается соответствующим масштабированием спектров. Аналогичные свойства имеют место и для дискретного сигнала x(n), полученного в результате периодической (с периодом Т ) дискретизации сигнала x(t). При этом сжатие и растяжение (удлинение) дискретного сигнала эквивалентны соответственно уменьшению либо увеличению частоты дискретизации F д =1/Т.

20 DSP Дискретные сигналы и системы Уменьшение частоты дискретизации в целое число М раз. Эта процедура называется также прореживанием или децимацией дискретного сигнала x(n). При этом новый дискретный сигнал x d (n), получается прореживанием исходного, т.е. сохранением лишь каждого М -го отсчета сигнала x(n): x d (n)= x(Mn). Такой сигнал может быть получен в результате периодической (с периодом Т 1 =МТ ) дискретизации сигнала x(t), т.е. с частотой дискретизации F д1 =F д /M. На рис. 9 представлено условное графическое отображение прореживателя в М раз. Рисунок 9. M M x(n)x(nM)

21 DSP Дискретные сигналы и системы Перепишем соотношение (1.27), связывающее спектры дискретного сигнала x(n) и сигнала непрерывного времени x(t), в виде: На рис.10 на основе (1.30) представлены графически спектры дискретных сигналов x(n) и x d (n) для М=2. Чтобы гарантировать отсутствие эффекта наложения в связи с расширением спектра в М раз при прореживании дискретного сигнала, необходимо перед прореживанием пропустить его через дискретный фильтр нижних частот (ДФНЧ) с полосой пропускания. (1.30) Рисунок 10.

22 DSP Дискретные сигналы и системы Таким образом совокупность каскадно включенных ДФНЧ с полосой пропускания и прореживателя в М раз выполнит операцию уменьшения частоты дискретизации в М раз без эффекта наложения. Такую систему (рис.11) называют компрессором частоты дискретизации. Рисунок 11.

23 DSP Дискретные сигналы и системы Увеличение частоты дискретизации в целое число L раз. Эту процедуру называют интерполяцией или восстановлением отсутствующих отсчетов дискретного сигнала. Для интерполяции дискретного сигнала x(n) его сначала удлиняют в L раз путем вставления между каждыми двумя соседними отсчетами L –1 нулевых отсчетов. Такой сигнал x уд (n) можно записать в виде Следовательно, спектр сигнала x уд (n) примет форму: Из (1.31) следует вывод о том, что при описанной выше операции удлинения дискретного сигнала, спектр сигнала x уд (n) сжимается по оси частот в L раз в сравнении со спектром исходного сигнала, а период повторения будет равен 2 /L. Если затем пропустить x уд (n) через идеальный ДФНЧ с полосой пропускания и усилением L, то лишние спектральные полосы будут удалены, а выходной сигнал фильтра будет точно соответствовать дискретному сигналу x ин (n) с периодом дискретизации T/L, т.е. частота дискретизации его увеличится в L раз, а нужные отсчеты будут восстановлены. (1.31)

24 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 12. а) исходный сигнал и его спектр; б) сигнал, удлиненный добавлением нулевых отсчетов и его спектр; в) интерполиррованный сигнал на выходе ДФНЧ и его спектр. а) б) в)

25 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 13. структура интерполятора (экспандера частоты дискретизации), увеличивающего частоту дискретизации в L раз.

26 DSP Дискретные сигналы и системы Если необходимо изменить частоту дискретизации исходного дискретного сигнала в L/M (рациональное число) раз, то такая операция может быть выполнена каскадным соединением интерполятора в L раз и дециматора в M раз, как это представлено на рис.14. Два последовательно включенных дискретных фильтра нижних частот ДФНЧ1 и ДФНЧ2 могут быть заменены одним с меньшей частотой среза. Рисунок 14.

27 DSP Дискретные сигналы и системы Примеры применения дециматоров и интерполяторов Рассмотрим примеры применения дециматоров и интерполяторов в цифровой аудиотехнике. При преобразовании в цифровую форму аналогового музыкального сигнала полагают, что полоса его соответствует интервалу частот 0 f 22кГц и минимальная частота дискретизации равна 44кГц. Перед дискретизацией необходима аналоговая низкочастотная фильтрация (ФНЧ) для исключения эффекта наложения и внеполосного шума. При этом ФНЧ должен иметь высокую равномерность частотной характеристики в полосе пропускания и узкую переходную полосу от полосы пропускания к полосе задерживания. Такие фильтры, как правило, имеют очень нелинейную фазо-частотную (ФЧХ) характеристику к края полосы пропускания (у частоты 22кГц ), что считается недопустимым для высококачественного воспроизведения музыки. Распространенный способ решения этой проблемы состоит в повышении вдвое (иногда вчетверо) частоты дискретизации. При этом аналоговый ФНЧ может иметь более широкую переходную полосу в интервале частот 22кГц – 44кГц и нелинейность ФЧХ оказывается приемлемо малой.

28 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 15. а) спектр аналогового сигнала; б) требуемая амплитудно-частотная характеристика ФНЧ при частоте дискретизации 44кГц; в) требуемая амплитудно-частотная характеристика ФНЧ при частоте дискретизации 88кГц.

29 DSP Дискретные сигналы и системы Полученный на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) цифровой сигнал с частотой дискретизации 88кГц далее обрабатывается цифровым ФНЧ (ЦФНЧ) с требуемой крутизной переходной полосы и прореживается вдвое для получения нужного сигнала с частотой дискретизации 44кГц, как это представлено на рис.16. Заметим здесь, что реализация ЦФНЧ с линейной ФЧХ, как это будет показано в дальнейшем при рассмотрении характеристик цифровых фильтров, не вызывает принципиальных затруднений. Для этой цели используются КИХ-фильтры с симметричной импульсной характеристикой. Рисунок 16.

30 DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 17. Аналогичная проблема возникает в ступени цифро- аналогового преобразования, когда цифровой музыкальный сигнал должен быть преобразован в аналоговый путем обработки в ФНЧ. Для этой цели нужен аналоговый ФНЧ с частотой среза 22кГц и узкой переходной полосой и, следовательно, он будет иметь сильно нелинейную ФЧХ, что недопустимо. Для решения этой проблемы используют интерполятор, повышающий частоту дискретизации цифрового сигнала вдвое, после чего такой сигнал преобразуется в аналоговый в ЦАП с аналоговым ФНЧ, переходная полоса которого может быть в интервале частот 22кГц – 44кГц, а нелинейность ФЧХ будет приемлемо малой. Блок-схема такой обработки представлена на рис.17.