Готовимся к ЕГЭ, формат 2010 « Ответы ко всем задачам ЕГЭ по математике 2010 года » « Комментарии » Задачи пробных, досрочных и ЕГЭ по Росси ( интернет. - презентация

1 Готовимся к ЕГЭ, формат 2010 « Ответы ко всем задачам ЕГЭ по математике 2010 года » « Комментарии » Задачи пробных, досрочных и ЕГЭ по Росси ( интернет переписка )

2 Стереометрия. Задания С 2. Готовимся к ЕГЭ, формат 2010 Не отвлекайтесь ! Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки : до прямой ( до плоскости ) Угол между прямой и плоскостью, ( между плоскостями ) - Двугранный угол - ЛИНЕЙНЫЙ угол. Тематика задач Слайд 3 Теория 32 задачи пробного, досрочного и ЕГЭ чертежи и решения с анимацией ( Word. PowerPoint 2007 ) слайды разных регионов России Тематика задач

3 α α Основные понятия - a В b В b а С α b а β с В а и b - скрещивающиеся : * угол м ежду а и b :. с II а в плоскости α АВ проекция прямой ВС на плоскость * двугранный у гол - ребро с, А через точку В. * угол м ежду прямой и её проекцией - АВС * СА - расстояние о т точки С д о плоскости. СА Ι пл. α * угол м ежду прямой и плоскостью а Ι с,с, b Ι с.с. с Прямая а лежит в α, b пересекает α в точке В * линейный у гол. В - точка ребра тематика задач * Расстояние между а и b - их общий перпендикуляр. 3 Теория Далее задачи с решениями. Первое, что нужно - усвоение условия задачи !

4 А D А D С 1. В кубе A…D точка К - середина рёбра АВ. Найдите косинус угла между прямыми АК и ВD. M Т К M Т А D В В Р С А D Р В Выход на Δ МАК. а) АК в Δ ААК б) АМ (АМD) = ВД (Δ АDВ) в) МК - вынесенный чертёж: Δ МАК. МК² = АМ² + АК² - 2 АМ АК cos МАК 4 АК и BD - Построение угла между ними - искомого косинуса : 1) Прямая BD и точка А - дают единственную плоскость. 2) В этой плоскости проводим АМ параллельно BD. 3) Угол МАК - ИСКОМЫЙ ! Найдём стороны АМК и т. косинусов для МК … Ваши предложения решения ? И решаем ( ребро куба 1) 1 1 1/2 Δ МКТ - по т. Пифагора Выход на Δ DВР D Р 2) Прямая АК и точка В - дают единственную плоскость. В этой плоскости проводим ВР параллельно АК. Угол D ВР - ИСКОМЫЙ ! Решение аналогично ( вынесенный чертёж ) 1 1 1/2 Угол между скрещивающимися прямыми К скрещивающиеся прямые DР в АDР Укажите плоскость, проходящую через одну из прямых и точку другой прямой. В этой плоскости через взятую точку провести прямую, параллельную взятой прямой. Получаем – угол между скрещивающимися прямыми - по определению. Второй способ с построения угла между скрещивающимися прямыми : или в ВДD, проведя ВD, Ответ : 15/15 или ВDС. План решения *** Вычисления самостоятельно

5 Р К M А D В С А D В С 2. В кубе A…D точки К и Р - середины рёбер соответственно АВ и ВС. Найдите косинус угла между прямыми АК и ВР. 3. К, Р -середины АВ и DС. Решение ( схема ), пусть ребро куба 1. АК и ВР - скрещивающиеся, угол между ними - ГЛАВНОЕ в задаче ! А D В А D В С К Р С М К Р М А D В С С Прямая АК и точка В плоскость, в ней ВМ параллельно АК искомый угол в Δ МВР. 1). На АК берём точку А. 2). Прямая ВР и точка А дают плоскость. 3). В этой плоскости проводим прямую АМ II ВР. 4). Искомый угол МАК. 5). Выходим на Δ МАК. Cos МАК Δ МАК АМ АК Δ ААМ Δ ААК по теореме косинусов МК² = АМ² + АК² - 2 АМ АК cos МАК прямоугольные по т. Пифагора МК Δ АМК ВМ - ? МР - ? ВР - ? 3. РМ - вынесенный чертёж : РМ ( РКМ) 1. ВМ = АК в Δ ААК 2. ВР ( см. рис.) в Δ ВРС ( сначала ВС в Δ ВСС ). МР² = ВМ² + ВМ² - 2 ВМ ВР cos МВР cos МВР (0,8 и 3 5 /5) 5 Угол между скрещивающимися прямыми - Ответы 2, 3. теорема косинусов Кликнуть. Внимательно следить по чертежу за непрерывной анимацией. *** ( план решения, вычисления самостоятельно ) Сначала самостоятельно

6 А D А D С В В С М Прямая ВС и точка Спрямой МС - единственная плоскость. Точка М – середина ребра А D куба АВС D АВСD. Найдите угол между прямыми СМ и ВС. К Р В этой плоскости - СКСК || ВС. Угол МСК искомый - М А В С D Р К 1/2 1 1 в М СК. Угол между скрещивающимися прямыми 6 1) СК в ССК по т. Пифагора 2 (ребро куба за 1). 2) МС в МСС по т. Пифагора., проведя проекцию МС, Сначала МС в МСD по т. Пифагора. Вынесенный чертёж : МС = 5/2. МС = 3/2. 3) МК В МКР = 13/2. Нашли все три стороны МС К, к т. косинусов для МК : МК² = СМ² + СК² - 2 СМ СКСК Cos MCK сos MCK = Подставим МК, СМ, СК. 2/6. Угол MCK = arccos (2/6). 4. Укажите плоскость, проходящую через одну из прямых и точку другой прямой. В этой плоскости через взятую точку провести прямую, параллельную взятой прямой. Получаем – угол между скрещивающимися прямыми - по определению. Провести СД и по т. Пифагора в МС Д. Как ещё можно найти МС ?

7 Ответ : 0,7 стороны по 1. D Р К А А С С В В Р К В 5. В правильной треугольной призме А … С, все рёбра которой равны 1, точки D и Р – середины рёбер соответственно АВ и ВС. Найдите косинус угла между прямыми АD и ВР. Прямая А D и точка В в одной плоскости. Продлим плоскость и в ней проводим ВК || А D. У гол КВР, cos BKP - ? КВР Cos КВР Δ КВР по т. косинусов ВР ВК РК Δ ВВР Δ ВВК Δ КВР по т. Пифагора РК² = ВР² + ВК² - 2 ВР ВК cos КВР ½ ½ 120 ½ ½ ). РК - ? 6. В правильной четырёхугольной пирамиде МАВС D, все рёбра которой равны 1, точки К и Р середины рёбер соответственно МВ и МС. Найдите косинус угла между прямыми АК и ВР. Р А В Д М С D К Т Cos TAK - ? 1/ /2 решение сводится к определению ТК. 2). Чтобы применить т. косинусов в Δ ТАК, 1). Δ ТАК : АТ = ВР = АК легко находятся 3). Для этого выполним вынесенный чертёж : ТК по т. Пифагора в Δ ТРК Е Т Р К Е 7 В Δ ТАК по т. косинусов ТК² = АТ² + АК² - 2 АТ АК cos ТАК. Кликнуть. Следите за построением угла, дополнительными построениями, нанесением данных. ( Обоснования Ваши !) Угол между скрещивающимися прямыми РК² = 3/4 Вынесенный чертёж После появления чертежа кликнуть и следить за появлением данных на рисунках Нанесём данные на чертежах Ответ : 1/6. в равных Δ ВРС или Δ АКВ. Прежде сами решите. Затем посмотрите.

8 А С F E B D 7-8. В правильной шестиугольной призме А …F все рёбра равны 1. А В С С D D Е F F А 1 1/2 1 В Е Р К С М Р М В С Угол между скрещивающимися прямыми 1 1/2 ? ? 8 А А В В D D С С Е Е F F 7) Точки К и Р середины рёбер соответственно A B и B C Найдите косинус угла между прямыми АК и ВР. 8) Найдите косинус угла между прямыми А F и FC. М 1) АК и В плоскость. 2) ВМ II АК. 3) Угол РВМ - искомый 4)Выход на РВМ. 1) А F и F плоскость. 2) F М II А F. 3) Угол C F М - искомый 4) Выход на CFМ. РМ - ? и т. косинусов в РВМ ! С М - ? и т. косинусов ! ВР ( ВВ Р), ВМ ( ВВ М) прямоугольные. FC ( FCC ), проведя CF. FM = AF ( AF F), а а а А С F Немного о правильном 6 - угольнике М 120 Ответ : 0,9 1/2 120 Ответ : 90, т.к. Cos CFM = 0 вынесенный чертёж И данные на чертежах вынесенный чертёж И данные на чертежах РМ² = ВР² + ВМ² -2 ВРВМcos РВМ План решения – сначала ВАШ ( вычисления самостоятельно ) СМ² = CF² + FМ² -2 CFРFМcos РВМ План решения – сначала ВАШ ( вычисления самостоятельно )

9 А А В В Д D С С Е Е F F С ? 1 ? Найдите косинус угла между прямыми AF и FD. 9. В правильной шестиугольной призме А …F все рёбра равны 1. Угол между скрещивающимися прямыми А В D С Е F К К 9 1) А F и F плоскость. 2) FK II А F. 3) Угол D F К - искомый 4) Выход на DFK. D К - ? и т. косинусов ! Вынесенный чертёж FK ( FFK). FD ( FFD), проведя FD D К² = FD ² + FK² - 2 FD FK cos D FK ( D FK). Немного подумав и проявив внимательность, можно справиться с задачей значительно проще ! С D Е Проведём С D ! Получим угол между скрещивающимися А F и FD ! (CD II AF и имеет общую точку с прямой FD ) Угол CDF. Выходим на СDF, проведя FC. 2 Описание построения по условию задачи Вынесенный чертёж План решения ( следите, данные появляются на рисунках ) FC ² = DС² + DF² - 2 DС DF cos СDF. Рациональный способ решения с построения угла между скрещивающимися прямыми Ответ : 45 Укажите плоскость, проходящую через одну из прямых и точку другой прямой. В этой плоскости через взятую точку провести прямую, параллельную взятой прямой. Получаем – угол между скрещивающимися прямыми - по определению.

10 Угол D АР - ? Ребра А D и BC пирамиды DABC равны 24 см. и 10 см. Расстояние между серединами рёбер В D и АС равно 13 см. Найдите угол между прямыми А D и ВС. В пирамиде D АВС известны длины рёбер : АВ = АС = D В = D С =10, ВС = D А = 12. Найдите расстояние между прямыми А D и СВ В А D С М Угол между скрещивающимися прямыми ( прямые выделены разным цветом ). и прямая СВ Точка А плоскость. В этой плоскости ( в основании ) через А прямую АР II CB. Угол D АР. Дополнительные построения KT II C В, Вышли на АDР. Найти бы D Т. К D Т Р Вынесенный чертёж Е Достроим до параллелограмма. КЕ² + DТ² = 2КD² + 2КТ². Теорема косинусов D Т² = КD ² + КТ² - 2 КD КТ cos D КТ. Cos D КТ = 0 10 Н Р 10 Или на КD Т. Данные на чертеже, и т. косинусов. С В А D 13 N D Т Р Расстояние между скрещивающимися прямыми - их общий перпендикуляр * Найдём D Т. D Т² = 676. Пирамида. Данные по условию. Отметим, что : CАВ и СDВ Равнобедренные ! Равные ! Общее основание СВ. То их высоты к СВ - ? Да - ! - высоты D Н и АН. Пересекаются в одной точке Н и равны АDН равнобедренный. Заметим: Высота НР - общий | АD иАD и СВ. Главное - указали, расстояние Решение : АН = 8 НР = 27 в АРН по т. Пифагора * К НР - ? между скрещивающимися прямыми. в АНС по т. Пифагора. точки М и Т – середины ! Чертёж и данные по условию. (C В перпендикулярна АН и D Н, то и РН – признак )

11 В правильной треугольной призме АВСАВС высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найти расстояние от точки А до прямой ВС. А А С С В В Пробный в Подмосковье, март Расстояние от точки до прямой ( до плоскости ) - перпендикуляр к ним из этой точки ! | точка А Прямая ВС иопределяют единственную плоскость АСВ. АК т. е. АК высота АСВ А Искомое вынесенный ВС, расстояние - чертёж : С В ВС = ВА - диагонали боковых граней правильной призмы. 1 Находим их в ААВ по т. Пифагора: Проведём высоту ВН, 1 ВН = 2. то в АНВ. К Искомое А К тоже высота А С В, Помогут две формулы S A C B : 1/2 АС · ВН = 1/2 ВС · АК. 2 · 2 = · АК. 5 АК = 4/ 5 5. = 0,8 12. равных Н Заметим Призма правильная. К Чтобы найтиА К, сделаем Умножим на 2, подставим : 5 В кубе АВС D АВСD все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой В D. 2/ а. 2 ? А D В С А D В С К Чертёж к задаче 12 а после самостоятельного решения непрерывная анимация Часто применяется подсказка

12 D Ребро пирамиды D АВС перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через Середины рёбер АВ, АС и А D, если А D = 2 5, АВ = АС = 10, ВС = Н А К Н О Н А М Р 5 К, М и Р Δ МКР - равнобедренный, так как наклонные КМ и КР имеют - половины равных сторон. А D перпендикуляр АВ и АС. Плоскость КМР, Проводим АО в АКН - это искомое расстояние С В А Проведём КН – АО прямоугольный АО · КН = АК · АН АКН АН КН прямоугольный по т. Пифагора прямоугольный по т. Пифагора АМН АКН 20 5 АО · 5 = 5 · 20. АО = Расстояние от точки до прямой ( до плоскости ) - перпендикуляр к ним из этой от точки ! 13. К - середины рёбер. до которой надо найти расстояние от вершины А. М Р Данные по условию. Точки - середины, то АМ = АР = 5, КА = 5. МР = 25, Где МН = 5, Покажем искомое расстояние на чертеже. МКР и МАР - равнобедренные, с общим основанием МР. равные проекции АМ и АР высоту КМН, Н - середина МР. АН – высота АМН - равнобедренный АМН - высоту к КН от А до пл. КМР О Т. к. МР | пл. АКР ( по признаку ), то МР | АО Р Е Ш Е Н И Е : АН = 2 5, В АМН. ( из формул площади ) 2525

13 Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость В прямоугольном параллелепипеде АВС D АВСD найдите угол межу Плоскостью ААС и прямой АВ, если АА = 3, АВ = 4, ВС = 4. А В С D А В С D – / – / Параллелепипед, в основании квадрат ( по условию ). плоскость ААСС, прямая АВ. Угол межу ними - ? Это угол между прямой АВ и её проекцией на пл. ААСС. АВС D - квадрат ( по условию ), диагонали перпендикулярны. ВО | АС.АОАО | ВО ( по т. о 3- х перпендикулярах ) О А О проекция А В на плоскость АА С С. Угол ВАО -искомый В А О ВАО _ ВАО - определение синуса 1. АВв ВААпо т. Пифагора, 5 2. ВО ½ В D в АВD по т. Пифагора, 2 3. Sin ВАО =ВО : АВ = 2 2 : прямоугольный, ( ВО : АВ). _ ВАО = arcsin 0,42. ВО | пл. ААСС (признак перпендикулярности прямой и плоскости). В прямоугольном параллелепипеде АВС D АВСD, у которого АА = 4, АD = 6, СD = 6, найдите тангенс угла между плоскостью АDD и прямой МК, проходящей через середины рёбер АВ и ВС. Ответ: 0,6. Пусть М Є АВ, К Є ВС. Искомый угол - ВК - проекция МК на плоскость ВВСС. В ВКМ (прямоугольный), Tg ВКМ = ВМ : ВК Ответ - как и между МК и пл. ВВСС. - ? _ ВКМ. Самостоятельно. Ответ. Затрудняетесь. Кликнуть план решения. ( ориентир при решении - рис. параллелепипеда к задаче 14)

14 Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость 16. В основании прямой призмы АВСАВС лежит прямоугольный треугольник АВС, угол С = 90, угол А = 30, АС = Диагональ боковой грани ВС составляет угол 30 с плоскостью ААВ. Найдите высоту призмы. А В С А В С 30 Казань. Февраль В прямом круговом цилиндре диаметр нижнего основания AB равен 8, точка C - середина дуги AB. Найдите высоту цилиндра AК, если угол между прямой AК и плоскостью КBC равен 30. В прямом круговом цилиндре диаметр нижнего основания АВ = 6, точка С - середина дуги АВ, высота цилиндра АК равна 6. Найти угол между прямой АК и плоскостью КВС. 14 С О 30 С А В О К АС = 10 3 Укажем угол между прямой ВС Нужна и плоскостью ААВВ. СН | АВ, то Н Из точки С проводим СН | пл. ААВВ, т. к. призма прямая. ЗначитСН | НВ. ? НВС = 30. проекция ВС на эту плоскость! ВВ прямоугольный по т. Пифагора ВВС ВСВС прямоугольный угол 30 2СН - ? НВС ВСВС прямоугольный НС против 30 АНСАНС СН СН = 5 3, АВС прямоугольный по опред tg 30 ВСВС = 10. ВС=103. ВВ = ответ. 8 8 _ Вынесенный чертёж основания : АСВ = 90, т. к. вписанный и опирается на диаметр. АС - проекция ДС _ АКС = 30 (по условию). КС | СВ ( т. о 3- х перпендикулярах ). АКС - прямоугольный с ? А В АС = В АВС по т. Пифагора ). 2. АКС – по определению, tg 30 = АС : 3/3 = 4 3 : АК, АК = 12. АК. arctg 2/2. Решение аналогично, ВВ -? 16. Главное - указать угол между AК и пл. КBC. Пл. АКС | пл. КВС, то угол АДС = 30 - по условию.

15 Задача С 2. Вариант 101 ( пробный, март ) Башкирия. В основании четырехугольной пирамиды МАВСД лежит квадрат АВСД со стороной (3 10)/ 5. Длина всех боковых ребер равна 3. точка К - середина ребра A М. Через прямую ВК, параллельно диагонали АС проведена плос - кость. Определите величину угла между этой плоскостью и М AC. Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного угла В А С D М К Р Н О а Пирамида правильная. Основание - квадрат, пересечение диагоналей, вершина, боковые рёбра по 3. Точка К - Прямая ВК. Плоскость МАС высота, /2 3 и пересекающая её плоскость, Значит пересекаются плоскости по прямой, Пусть - это КР || АСпо признаку, || плоскости ВКР ( по условию ) Строим линейный угол двугранного угла с ребром КР : Н - середина проводим ВН | КР, В ВКР (ВК = ВР в равных гранях ), и ВНО - искомый в ВНО – прямоугольный. 1) ВО = в ВС D по т. Пифагора. ½ В D, В D - 2) НО = в ВМО по т. Пифагора. ½ МО, МО ВО и НО равны, а = имеют общую тоску К. проходящей через точку К. середина АМ. т. к. АС НО | КР, т. е Провести перпендикуляры В точку ребра : в одной из граней – « принудительно » - выгодно для решения, в другой - « вынужденно » - из полученной точки на ребре. Получаем – линейный угол двугранного угла ( между плоскостями ) - по определению. К Р М Н Другой ракурс чертежа

16 Основанием прямой треугольной призмы АВСАВС является равнобедренный Δ АВС, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16. Боковое ребро призмы 24. Точка Р - середина ребра ВВ. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и АСР. А В С А В С Главное - ( между плоскостями ) Или всё равно, - основания ( АВС II АВС ). ( ) Р – середина, PD PDB – tg PDB = 16 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного угла – а, б Р Призма. Данные по условию. () Р - - середина ребра. Плоскость АСР. указать ЛИНЕЙНЫЙ уголДВУГРАННОГО угла и АСР. АВС Д что угол между плоскостями АСР и АВС АР = СР – наклонные, АВ и ВС - - их равные ПРОЕКЦИИ. и BD - высоты равнобедренных треугольников с общим основанием. – линейный угол искомого двугранного угла. _ в DPB. Равен 2 PB : DB Проведём В прямоугольном параллелепипеде FDCDABCD известны ребра : АВ = 5, AD = 12, CC = 3. Найти угол между плоскостями BDD и ADB. ЕГЭ Кузбасс В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD известны ребра : AB = 3, AD = 4, CC = 4. Найти угол между плоскостями BDD и ADD. ЕГЭ Кузбасс Решение 21 а на слайде 19.

17 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного угла 17 А В С А В С D D В прямоугольном параллелепипеде A … D, у которого АВ = 6, ВС = 6, СС = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АСD и АВС. О А В С А С D D В прямоугольном параллелепипеде A … D, у которого АВ = 4, ВС = 6, СС = 4, найдите тангенс угла между плоскостями СDD и ВDА В 1. Плоскости по условию задачи - АВС и 2. Заметим, что искомый двугранный угол - всё равно, что угол с ребром АС 3. По условию ( данные на чертеже ) - Δ АСD – равнобедренный: А D = D С в прямоугольных Δ АD D и Δ DD С с катетами 6 и Высоты Δ АСD и Δ АDС и образуют искомый линейный угол. УголDОD Δ DОD прямоугольный определение tg DD = 4 ОDОD В D по т. Пифагора ½ ВD (АВСD квадрат) Δ АВ D tg АВ D = DD : ОD О 1. Двугранный угол между CDD и BDA - всё равно, что между АВА и ВDА 2. Проведём в А А В перпендикуляр АО ( высоту ) к АВ. О 3. DO - перпендикуляр к АВ ( по т. о 3 - х перпендикулярах ) (АВ - перпендикуляр АО, то и к наклонной ДО) Угол АО D - искомый линейный. Δ АОD, tg АОD = АD : АО. АО в Δ ААВ: образованного АС D и АСД(основания параллельны). АСD. 2/3 2 АО : АВ = АА : АВ. tg АО D = (12 13):13 из подобия ААВ и АОВ). Плоскости по условию

18 А В С D А С D В С 1. Плоскости : Δ АВС Их линия пересечения На ребре ВD следует выбрать точку ( удобную для решения ), 2. Главное: построить линейный угол в эту точку провести перпендикуляры к ребру ВD в гранях угла. ВD - Дан куб A… D. Найдите угол между плоскостями АВС и АВС. и Δ АВС. Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного угла ребро искомого двугранного угла. этого двугранного угла. О Н Н А О В | _ | 1/2 1 3 /2 3 /2 3 / С А Н ( ) О - точка пересечение диагоналей куба С л е д у е тС л е д у е т ВО =АО = СО ОАВ ОСВ равнобедренные, равные. Проведём АН ВО,то и СНВОВО ( высоты этих треугольников ). АНС - искомый ЛИНЕЙНЫЙ угол в АНС - равнобедренный. 2 К Остаётся найти А Н = НС, Затем и угол А НС по т. косинусов. Вынесенный чертёж : Диагональ куба 3, то ОА = ОВ = ОС = 3 /2. НС - по формулам SОВС :½ ОВ · НС = ½ ОК · ВС, где ОК = 2 /2. по т. Пифагора вОВК. НС = 2/3. Угол АНС по т. косинусов для АС: 120

19 В прямом параллелепипеде АВС D АВСD основанием служит ромб со стороной, равной а, угол АВС = 120. Через сторону ВС и вершину А проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь сечения. Г А В С D А В С D 120 | _ | 3 3 Рассмотрим A CB и A CD. А В С D А С D В Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины В и D. Найдите величину этого угла. Н Для начала, предположим, что ребро куба равно 1. Тогда диагональ куба равна. Опустим перпендикуляры - высоты к A C из точек B и D. Раз треугольники равны, их высоты тоже равны и попадают в одну точку H. Сравните с предыдущей задачей. Она же - с другой трактовкой условия. АС – диагональ куба - ребро двугранного угла. Они равны по трем сторонам ВНО - искомый линейный угол а а 120 А В С D Н а а 120 Вынесенный чертёж основания - ромб, 90 чтобы определиться с построением линейного угла. На основной чертёж : DH СВ, то и D H СВ ( т. о 3 – х перпендикулярах ) _ D HD = То DH = D D = (а(а 3 ) : 2. В DНD, DH = а 3/2. S CDAB = а² 3/2. ( по т. Пифагора ) Плоскости через В и D, диагональ АС - по условию : ? Н

20 | 21 – а. Со слайда 15 В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD известны ребра : АВ = 3, AD = 4, СС = 4. Найти угол между плоскостями BDD и А D В. ЕГЭ Кузбасс Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного угла 20 А D С А С В Д В Плоскость BDD Диагональное сечение BDD B. Плоскость ADB D B - ребро искомого двугранного угла. Линейный угол искомого двугранного угла : А НА Н D B, К НК | DB _ АНК - ? в АНК прямоугольный НК – известно, как равное боковому ребру. НК = 4. Знать бы АН или АК. Угол АНК по определению тригонометрической функции легко находится Это уже 1 балл из 2 возможных за решение задачи D В = 5, DСВ Н D D B М ½ AD В М = ½ D B АН Площадь АD В (приём сравнения): АН Но сначала ВМ : АВ = 5, АВВ AD =, ААD 4 2 т. П И Ф А Г О Р А _ АНК = arccos _ АНК = НК : АН. Cos 17 ВМ = Н 4

21 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ВСD известны три измерения AB = 12, BC = 5, CC = 7. Найдите угол между плоскостями CBD и АВD. В А С D В А С D Параллелепипед. Измерения. Плоскости : СВD АВD и Н Высоты к общему основанию ВD. Далее надо построить линейный угол угла между плоскостями - Проведём анализ по чертежу, заметив : СВD АВD = ( ВD - общая, СВ = АD ; СD = АВ ). Да ! Не в одну точку. В обоих случаях ближе к меньшей стороне, но РАВНЫЕ ! Для построения НК Н линейного угла в плоскости АВD - ΙΙ К НА Угол КНС - искомый, в КНС - равнобедренный ( равны ) Можем найти сначала угол СНН Н в СНН по опред. косинуса. Но надо знать СН ! Вынесенный чертёж: С В D Н стороны - диагонали по т. Пифагора Х 13 - Х по т. Пифагора в 2-х треуг. СН : 74 - Х² = (13 – х)². Х = СН = СНВ по т. Пифагора: в СНН cos СНН = НН : СН = 7 : 109/13 = 91/109. Угол СНН =arccos 91/109. Угол КНС =2arccos 91/109. это перпендикуляр в каждой грани Пусть НВ = Х, то СН Особенность задачи !!! Двугранный угол образован двумя равными треугольниками с общей стороной, но их высоты, хотя и рав- ны, не в одну точку. Что делали ? В чём особенность задачи ? Кликнуть. 25/13, 109/13, в одну точку ребра ВD. Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного угла

22 Это уже 1 балл из 2 возможных за решение задачи 22 Итоговый обобщающий к С 2 Главное - верно указать на чертеже ИСКОМОЕ ( слайд 2) и план решения. Чертёж советуем выполнять ЭТАПАМИ текста условия, что помогает поиска пути решения задачи. ПРОГНОЗУ ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ Используйте принцип « ИЩИ ТРЕУГОЛЬНИК » Если определить ТРИ любых элемента треугольника, - Часто встречаются Чтобы найти ЛЮБОЙ угол, хорошо знать ТРИ стороны. Применить т. косинусов. разносторонний равнобедренный Чтобы найти ЛЮБУЮ высоту, хорошо знать ТРИ стороны. Уравнение : по т. Пифагора а с в α а² = в² + с² - 2всcos α « классические » задачи : разрешима любая задача !!! а с в h x a-x в двух, введя Х или ½ а h = S по формуле ГЕРОНА Чтобы найти ВЫСОТУ к БОКОВОЙ стороне, хорошо знать стороны. в в а h Высоту к основанию, найти её по т. Пифагора. h УРАВНЕНИЕ : ½ в h = ½ а h h Удачи на ЕГЭ !