Производная и дифференциал.. Дифференциал Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Тогда - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем. - презентация

1 Производная и дифференциал.

2 Дифференциал Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Тогда - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем : бесконечно малые

3 Если функция y=f(x) имеет производную f (x) в точке х, то произведение производной f (x) на приращение Δ х называется дифференциалом функции и обозначается символом dy: Так как, то Следовательно или

4 1. Найти дифференциал функции Ответ.

5 dy бесконечно малая высшего порядка относительно Δ х или

6 2. Найти дифференциал и приращение функции при х=20 и Δ х=0,1 Ответ. абсолютная погрешность:

7 3. Шар радиуса R=20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара? Ответ. Объем шара увеличился на Решение:- объем шара Так как приращение аргумента мало то приращение функции можно заменить её дифференциалом

8 y y=f(x) M ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x N f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) Геометрический смысл дифференциала L K dy Рассмотрим функцию y=f(x)- непрерывна на x (a, b). dy

9 y y=f(x) M ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x N f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) L K dy геометрически: замена Δ y на dy означает замену участка кривой участком её касательной (на небольшом участке изменения аргумента всякую дифференцируемую функцию можно рассматривать как линейную). на языке механики: означает, что любое движение за короткие промежутки времени можно приближенно считать равномерным.

10 Основная формула для простейших приближенных вычислений: Применение дифференциала к приближенным вычислениям. или

11 Пример 1. Пусть

12 Частный случай : если, то

13 Пример 2. Пусть Частный случай: если х=0, то

14 Показать, что

15 Основные теоремы о дифференциалах. 2) Доказательство: dudv Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной.

16 Дифференциалы высших порядков. дифференциал 1-го порядка: дифференциал 2-го порядка: дифференциал 3-го порядка: и т.д. Рассмотрим функцию y=f(x), где х- независимая переменная.

17 Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: Производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

18 Пример 3. Вычислить дифференциал 3-го порядка для функции Ответ:

19 производная высших порядков от функции, заданной параметрически. Пример 4. Записать формулу при помощи дифференциалов: Ответ: