Измерение площадей Измерение площади фигуры, как и измерения длины отрезка, основано на сравнении этой фигуры с фигурой, площадь которой принимается за. - презентация

1 Измерение площадей Измерение площади фигуры, как и измерения длины отрезка, основано на сравнении этой фигуры с фигурой, площадь которой принимается за единицу. Площадь фигуры – это число, показывающее сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре. За единицу измерения площади принимается квадрат со стороной, равной единице измерения длины. Он называется единичным квадратом. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

2 Свойства площади Для площадей плоских фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам длин отрезков. Свойство 1. Площадь фигуры является неотрицательным числом. Свойство 2. Равные фигуры имеют равные площади. Свойство 3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф 1 и Ф 2, то площадь фигуры Ф равна сумме площадей фигур Ф 1 и Ф 2, т.е. S(Ф) = S(Ф 1 ) + S(Ф 2 ). Свойство 4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

3 Вопрос 1 Что принимается за единицу измерения площади? Ответ: За единицу измерения площади принимается квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

4 Вопрос 2 Что такое площадь фигуры? Ответ: Площадь фигуры – это число, показывающее сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре.

5 Вопрос 3 Какие фигуры называются равновеликими? Ответ: Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

6 Вопрос 4 Сформулируйте свойства площади. Ответ: 1. Площадь фигуры является неотрицательным числом. 2. Равные фигуры имеют равные площади. 3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф 1 и Ф 2, то площадь фигуры Ф равна сумме площадей фигур Ф 1 и Ф 2, т.е. S(Ф) = S(Ф 1 ) + S(Ф 2 ). 4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

7 Упражнение 1 Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке, все углы которого прямые. Ответ: 5.

8 Упражнение 2 Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке, все углы которого прямые. Ответ: 5.

9 Упражнение 3 Найдите площадь фигуры, составленной из двух единичных квадратов, вершина одного из которых расположена в центре другого, как показано на рисунке. Ответ: 1,75.

10 Упражнение 4 Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 8.

11 Упражнение 5 Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 6.

12 Упражнение 6 Найдите площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 10.

13 Упражнение 7 Сколько единичных квадратов целиком укладываются в фигуре, изображенной на рисунке? Ответ: 40.

14 Упражнение 8 На рисунке укажите равновеликие фигуры. Ответ: а) и д), в) и г).

15 Упражнение 9 Как изменится площадь прямоугольника, если его стороны: а) увеличатся в 2 раза; б) уменьшатся в 3 раза; в) изменятся в k раз? Ответ: а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 9 раз; в) изменится в k 2 раз.

16 Упражнение 10 Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 80 см. Ответ: 400 см 2.

17 Упражнение 11 Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 72 см 2, а отношение соседних сторон равно 1 : 2. Ответ: 36 см.

18 Упражнение 12 Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м 2 ? Ответ: 12 дм и 25 дм.

19 Упражнение 13 Прямоугольник со сторонами 2 и 4 повернут вокруг точки O пересечения его диагоналей на угол 90 о. Найдите площадь общей части исходного прямоугольника и повернутого. Ответ: 4.

20 Упражнение 14 Найдите площади фигур, изображенных на рисунках а) – в). Ответ: а) 2ad + 2bc – 4cd; б) ad + bc – cd; в) ab + 2cd – ad.

21 Упражнение 15 Найдите площадь S квадрата по его диагонали а. Ответ:

22 Упражнение 16 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м. Ответ: 12 м.

23 Упражнение 17 Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность? Ответ: В два раза.

24 Упражнение 18 Вершина одного единичного квадрата находится в центре другого единичного квадрата. Найдите площадь их общей части. Ответ: 0,25.

25 Упражнение 19* Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Решение показано на рисунке.

26 Упражнение 20* Доказательство. Площадь квадрата ABCD равна сумме площадей прямоугольников ABGH и HGCD. Площадь прямоугольника AEFH равна сумме площадей прямоугольников ABGH и BEFG. Из равенства периметров прямоугольника и квадрата следует равенство сторон BE и HD. Так как BG < HG, то площадь прямоугольника BEFG меньше площади прямоугольника HGCD и, следовательно, площадь прямоугольника AEFH меньше площади квадрата ABCD. Если стороны прямоугольника равны a, b, то сторона квадрата равна (a+b)/2. Следовательно, < (a+b)/2. Используя рисунок, докажите, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром. Выведите из этого, что среднее геометрическое двух положительных чисел a и b не превосходит их среднего арифметического (a+b)/2.