Прямоугольная система координат Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим. - презентация

1 Прямоугольная система координат Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy, Oz и называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Плоскости, проходящие через пары координатных прямых, называются координатными плоскостями и обозначаются Oxy, Oxz и Oyz соответственно.

2 Координаты точки Пусть A - произвольная точка пространства, в котором выбрана прямоугольная система координат. Через точку A проведем плоскость, перпендикулярную оси Ox, и точку ее пересечения с осью Ox обозначим Ax. Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x. Аналогично на осях Oy и Oz определяются точки Ay и Az, координаты которых называются соответственно ординатой и аппликатой точки A и обозначаются y и z соответственно. Тройка чисел (x, y, z) называется координатами точки A в пространстве.

3 Р. Декарт Впервые прямоугольные координаты были введены Р. Декартом ( ), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат, а сами координаты – декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат.

4 Упражнение 1 Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и B(5, -6, 2) на: а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz. Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0); г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

5 Упражнение 2 Что представляет собой геометрическое место точек пространства, для которых: а) первая координата равна нулю; б) вторая координата равна нулю; в) третья координата равна нулю; г) первая и вторая координаты равны нулю; д) первая и третья координаты равны нулю; е) вторая и третья координаты равны нулю; ж) все координаты равны нулю? Ответ: а) Плоскость Oyz;б) плоскость Oxz;в) плоскость Oxy; г) ось Oz;д) ось Oy;е) ось Ox;ж) начало координат.

6 Упражнение 3 На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости: а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz? Ответ: а) 3;б) 2;в) 1.

7 Упражнение 4 На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной прямой: а) Ox; б) Oy; в) Oz? Ответ: а)б)в)

8 Упражнение 5 Каким является геометрическое место точек пространства, для которых: а) первая координата равна единице; б) первая и вторая координаты равны единице? Ответ: а) Плоскость, параллельная плоскости Oyz и проходящая через точку (1, 0, 0); б) прямая, параллельная оси Oz и и проходящая через точку (1, 1, 0).

9 Упражнение 6 Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленные от: а) двух координатных плоскостей Oxy, Oyz; б) всех трех координатных плоскостей? Ответ: а) z=x;б) x=y=z.

10 Упражнение 7 Дан куб A...D 1, ребро которого равно 1. Начало координат находится в точке B. Положительные лучи осей координат соответственно BA, BC и BB 1. Назовите координаты всех вершин куба. Ответ: A(1, 0, 0), B(0, 0, 0), C(0, 1, 0), D(1, 1, 0), A 1 (1, 0, 1), B 1 (0, 0, 1), C 1 (0, 1, 1), D 1 (1, 1, 1).

11 Упражнение 8 Куб A...D 1 помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр нижнего основания куба, ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина A имеет координаты (-2, 2, 0). Найдите координаты всех остальных вершин куба. Ответ: B(-2, -2, 0), C(2, -2, 0), D(2, 2, 0), A 1 (-2, 2, 4), B 1 (-2, -2, 4), C 1 (2, -2, 4), D 1 (2, 2, 4).

12 Упражнение 9 Центром октаэдра является начало координат. Две его вершины имеют координаты (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Найдите координаты остальных вершин октаэдра. Ответ: (-1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, -1).

13 Упражнение 10 Как расположена сфера радиуса 2 с центром в точке с координатами (1, 2, 3) относительно координатных плоскостей? Ответ: Не имеет общих точек с координатной плоскостью Oxz; касается координатной плоскости Oxz; пересекает координатную плоскость Oyz.

14 Упражнение 11 Точка A имеет координаты (x, y, z). Найдите координаты симметричной точки относительно: а) координатных плоскостей; б) координатных прямых; в) начала координат. Ответ: а) (-x, y, z), (x, -y, z), (x, y, -z); б) (-x, -y, z), (-x, y, -z), (x, -y, -z); в) (-x, -y, -z).

15 Упражнение 12 Найдите координаты середины отрезка: а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2). Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).