Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равен. - презентация

1 Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равен 2 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

2 Определение гиперболы Геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных точек F 1, F 2 есть величина постоянная, называется гиперболой. Точки F 1, F 2 называются фокусами гиперболы. Таким образом, для точек А гиперболы с фокусами F 1, F 2 выполняется одно из равенств: AF 1 - AF 2 = c, AF 2 – AF 1 = c, где c - некоторый заданный отрезок.

3 Рисуем гиперболу По данному рисунку укажите способ построения гиперболы с помощью линейки, кнопок, нитки и карандаша.

4 Упражнение 2 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равен 2 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

5 Упражнение 3 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равен 1 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

6 Упражнение 4 Найдите геометрическое место точек A, для которых разность AF 1 – AF 2 расстояний до двух заданных точек F 1, F 2 : а) больше заданной величины c; б) меньше заданной величины c. Ответ: а) Точки A, расположенные внутри ветви гиперболы; б) точки A, расположенные вне ветви гиперболы.

7 Касательная к гиперболе Прямая, проходящая через точку А гиперболы, остальные точки A' которой лежат во внешней области, т. е. удовлетворяют неравенству A'F 1 – A'F 2 < c, называется касательной к гиперболе. Точка А называется точкой касания. Теорема. Пусть А - точка гиперболы с фокусами F 1, F 2. Тогда касательной к гиперболе, проходящей через точку A, является прямая, содержащая биссектрису угла F 1 AF 2. Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

8 Фокальное свойство гиперболы Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразившись от нее, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

9 Построение касательной По данному рисунку укажите способ построения касательной, проходящей через точку C, к гиперболе, заданной фокусами F 1, F 2 и константой c, с помощью циркуля и линейки.

10 Упражнение 5 Через точку C проведите касательную к гиперболе, с заданными фокусами F 1, F 2 и константой с. Ответ:

11 Упражнение 6 Через точку C проведите касательные к гиперболе, с заданными фокусами F 1, F 2 и константой с. Ответ:

12 Упражнение 7 Сколько касательных можно провести к одной ветви гиперболы из точки: а) принадлежащей ветви гиперболы; б) лежащей вне ветви гиперболы; в) лежащей внутри ветви гиперболы? Ответ: а) Одну; б) две; в) ни одной.

13 Упражнение 8 Дана гипербола с фокусами F 1, F 2 и константой c. Найдите наименьшее расстояние между точками, лежащими на разных ветвях гиперболы. Ответ: c.

14 Упражнение 9 Расстояние между фокусами гиперболы равно 6 см, константа c равна 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек гиперболы до фокусов? Ответ: 1 см.

15 Упражнение 10 Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами и разностью радиусов. Ответ: Гипербола.

16 Упражнение 11 Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом двух заданных окружностей. Ответ: Гипербола.

17 Упражнение 12 Что будет происходить с гиперболой, если константа c не изменяется, а фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга? Ответ: а) Ветви гиперболы сжимаются; б) ветви гиперболы расширяются.

18 Упражнение 13 Какой угол образуют касательные, к эллипсу и гиперболе с общими фокусами, проведенные через их общую точку? Решение: Касательная к гиперболе содержит биссектрису угла F 1 AF 2. Касательная к эллипсу содержит биссектрису угла F 2 AF. Следовательно, искомый угол равен 90 о.

19 Лабораторная работа Возьмем лист бумаги прямоугольной формы с вырезанным в нем кругоми отметим на этом листе точку F. Сложим лист так, чтобы точка F совместилась с какой-нибудь точкой F на границе круга. Снова согнем и разогнем лист, совместив точку F с другой точкой F 1 на границе круга. Разогнем лист. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FF и, следовательно, касательной к гиперболе. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к гиперболе. Чем больше будет линий сгибов тем больше граница участка внутри этих сгибов будет приближаться к ветви гиперболы.