Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней. - презентация

1 Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 Упражнение 1 На рисунке угол 1 равен углу 3, угол 2 равен углу 4. Будут ли треугольники CDA и ABC равны? Ответ: Да. Треугольники CDA и ABC равны по второму признаку равенства треугольников (AC – общая сторона и угол 1 равен углу 3, угол 2 равен углу 4 по условию).

3 Упражнение 2 Ответ: а) AB = CD; AD = BC; На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Найдите равные отрезки. б) AB = AD, BC = CD.

4 Упражнение 3 Ответ: а) ABC и ADC; б) ABD и CDB; в) ABD и CBE; г) AOD и BOC, ACD и BDC; д) ACD и BCE, ABE и BAD; AOE и BOD; е) AOD и BOC, ABD и BAC. На рисунках отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

5 На рисунке BC = CD, угол B равен углу D. Докажите, что AC = CE. Решение. Углы ACB и ECD равны как вертикальные. Треугольники ABC и EDC равны по второму признаку равенства треугольников (BC = DC, угол ABC равен углу EDC, угол ACB равен углу ECD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и CE этих треугольников. Упражнение 4

6 В четырехугольнике ABCD угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Докажите, что АB = AD. Решение. Треугольники ABC и ADC равны по второму признаку равенства треугольников (AC – общая сторона, угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. ). Следовательно, равны их соответствующие стороны AB и AD. Упражнение 5

7 Упражнение 6 На рисунке угол DBC равен углу DAC, BO = AO. Докажите, что угол C равен углу D и AC = BD. Доказательство: Треугольники AOC и BOD равны по второму признаку равенства треугольников (AO = BO, угол OAC равен углу OBD, угол AOC равен углу BOD). Следовательно, угол C равен углу D и AC = BD.

8 Упражнение 7 Доказательство: Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку равенства треугольников (AC = DF, угол BAC равен углу EDF, угол ACB равен углу DFE). На рисунке изображена фигура, у которой AD = CF, угол ВAC равен углу EDF, угол 1 равен углу 2. Докажите, что треугольники АВС и DEF равны.

9 Упражнение 8 Доказательство: Треугольники AOC и DOB равны по второму признаку равенства треугольников (OC = OB, угол ACO равен углу DOB, угол AOC равен углу DOB). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, ОВ = ОС и угол B равен углу C. Докажите равенство треугольников АОС и DOB.

10 Упражнение 9 Доказательство: Треугольники AOB и COD равны по второму признаку равенства треугольников (OA = OC, угол BAO равен углу DCO, угол AOB равен углу COD). Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и угол A равен углу C. Докажите равенство треугольников АОВ и COD.

11 Упражнение 10 Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2, OC = OD. Докажите, что угол A равен углу B. Решение: Треугольники AOC и BOD равны по второму признаку равенства треугольников (OC = OD, угол AOC равен углу BOD, угол ACO равен углу DCO). Следовательно, угол A равен углу B.

12 Упражнение 11 Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2, OC = OD, угол A равен 40 о. Найдите угол B. Решение: Треугольники AOC и BOD равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, угол B равен углу A и равен 40 о.

13 Упражнение 12 Решение: Треугольники ABC и CDA равны по второму признаку равенства треугольников (AC – общая, угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4). Следовательно, AB = 11 см, BC = 19 см. На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Докажите, что треугольники АВС и CDA равны. Найдите АВ и ВС, если AD = 19 см, CD = 11 см.

14 Упражнение 13 На рисунке угол DAB равен углу CBA, угол CAB равен углу DBA, СА = 13 см. Найдите DB. Решение: Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая, угол DAB равен углу CBA, угол CAB равен углу DBA). Следовательно, DB = 13 см.

15 Упражнение 14 Решение: Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая, угол DAB равен углу CBA, угол CAB равен углу DBA). Следовательно, AC = BD. В четырехугольнике ABCD угол DAB равен углу CBА, диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что АС = BD.

16 Упражнение 15 В четырехугольнике ABCD угол DAB равен углу CBА, диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. AD = 3 см, АС = 4 см, CD = 5 см. Найдите BD. Решение: Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, BD = AC = 4 см.

17 Упражнение 16 Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Отрезки CD и C 1 D 1 образуют со сторонами соответственно СВ и С 1 В 1 равные углы. Докажите, что AD = A 1 D 1. Доказательство: Треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по второму признаку равенства треугольников (BC = B 1 C 1, угол CBD равен углу C 1 B 1 D 1, угол BCD равен углу B 1 C 1 D 1 ). Следовательно, BD = B 1 D 1. Из этого и равенства сторон AB и A 1 B 1 вытекает равенство AD = A 1 D 1.

18 Упражнение 17 На рисунке AE=AC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что треугольники ABC и ADE равны. Доказательство: Треугольники ABC и ADE равны по второму признаку равенства треугольников (AC = AE, угол ACB равен углу AED, угол A – общий).

19 Упражнение 18 На рисунке AE=AC, угол 1 равен углу 2, угол A равен 50 o, угол B = 40 o. Найдите угол D. Решение: Треугольники ABC и ADE равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, угол D равен углу B и равен 40 o.

20 Упражнение 19 Ответ: AHB и CPD, ABC и CDA, CHB и APD. На рисунке BH перпендикулярна AC, DP перпендикулярна AC, AH=CP и угол BAC равен углу ACD. Найдите равные треугольники.

21 Упражнение 20 По рисунку объясните, как можно найти расстояние от точки M до недоступной точки N, например дерева на острове. Решение: Выбирается какая-нибудь точка M. Откладываются углы KML и MKL, соответственно равные углам NKM и NMK. Искомое расстояние будет равно длине отрезка ML.