МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние. - презентация

1 МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1, …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 …A n, указывающими вершину и точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

2 Вертикальные многогранные углы На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов

3 Измерение многогранных углов Рассмотрим вопрос об измерении многогранных углов. Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о :8 = 45 о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

4 Трехгранные углы Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360 о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180 о + 2 SABC. Таким образом, имеем следующую формулу

5 Многогранные углы Пусть SA 1 …A n – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A 1 A 3, …, A 1 A n-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2, равное половине площади единичной сферы. Поэтому численной величиной многогранного угла считают половину площади сферического многоугольника, высекаемого многогранным углом из единичной сферы с центром в вершине данного многогранного угла. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь:

6 Трехгранные углы тетраэдра Для двугранных углов тетраэдра имеем:, откуда 70 о 30'. Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15 о 45'. Ответ: 15 о 45'.

7 Четырехгранные углы октаэдра Для двугранных углов октаэдра имеем:, откуда 109 о 30'. Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38 о 56'. Ответ: 38 о 56'.

8 Пятигранные углы икосаэдра Для двугранных углов икосаэдра имеем:, откуда 138 о 11'. Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75 о 28'. Ответ: 75 о 28'.

9 Трехгранные углы додекаэдра Для двугранных углов додекаэдра имеем:, откуда 116 о 34'. Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84 о 51'. Ответ: 84 о 51'.

10 Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра Задача. Найдите трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра – многогранника, поверхность которого состоит из двенадцати ромбов. Заметим, что равными ромбододекаэдрами можно заполнить все пространство (составить пространственный паркет). Для этого сначала заполним пространство равными кубами, закрашенными в черный и белый цвета в шахматном порядке. Затем белые кубы разобьем на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к черным кубам. Получим искомое заполнение пространства ромбододекаэдрами. При этом в каждой вершине сходится или шесть равных четырехгранных углов, или четыре равных трехгранных углов ромбододекаэдров. Таким образом, величина четырехгранного угла ромбододекаэдра равна 60 о, а величина трехгранного угла ромбододекаэдра равна 90 о. Ответ: 3-х гранные углы равны 90 о, а 4-х гранные 60 о.

11 Четырехгранный угол пирамиды Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды? Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о, т.е. равен 60 о. Ответ: 60 о.

12 Трехгранный угол пирамиды Задача. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, стороны основания –. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды? Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о, т.е. равен 45 о. Ответ: 45 о.

13 Трехгранный угол пирамиды Задача. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 1, боковые ребра – Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды? Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о, т.е. равен 90 о. Ответ: 90 о.