Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет Кафедра математики Виктор Юрьевич Попов Лекции по теории функции комплексной. - презентация

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет Кафедра математики Виктор Юрьевич Попов Лекции по теории функции комплексной переменной Москва 2003г.

2 Лекция 1 §1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел. п. 1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация.

3 -вектор Определим операцию сложения: операцию умножения на число: базис Рассмотрим плоскость R 2.

4 Как ввестисохранив (1) и (2) ? Вектор 1– единица операции умножения. Определим Т.к. то полагают

5 Правило умножения Def. Числовая плоскость называется комплексной плоскостью C, если для ее точек определены модули (1), операции сложения (2) и умножения (6). Точки комплексной плоскости С называются комплексными числами.

6 Действительные числа включаются в множество комплексных чисел. a=(a,0)-вещественное число, -1=(-1, 0), i =(0, 1)- мнимая единица, ib= (0, b)-чисто мнимое число, 0=(0, 0),1=(1, 0), -i=(0, -1). упорядоченная пара вещественных чисел. Равенство. Алгебраическая форма записи.

7 Деление. Комплексное сопряжение.

8 Примеры.

9 Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости. Im z=0 Re z=0

10

11 Модуль и аргумент комплексного числа Полярные координаты (x,y) (r, ). Модуль комплексного числа: Аргумент комплексного числа: Главное значение аргумента.

12 -разрез по- PC Soft -разрез по-литература Примеры. не определен!

13 Тригонометрическая форма записи формула Эйлера: Показательная форма записи Теорема Теорема. Пусть тогда

14 Примеры.

15 Вопрос. Умножение и деление в показательной форме. Формула Муавра.

16 Извлечение корня. Корень n -той степени из комплексного числа принимает n различных значений.

17 Примеры.

18

19

20

21 Операция сравнения в С не определена. Множество комплексных чисел C образует поле. Поле С не является упорядоченным. В упорядоченном поле P В поле Сно Утверждение неверно. Модуль удовлетворяет аксиомам норм.

22 Неравенства треугольника. Упорядоченная четверка является нормированным векторным пространством над полем R. Оно превратится в метрическое пространство, если ввести метрику по формуле Из теоремы Фробениуса следует, что поле С является «максимальным» числовым полем и дальнейшее расширение понятия числа невозможно.

23 Некоторые простейшие множества точек на комплексной плоскости.

24

25