Уравнения в Частных Производных Возникающие в Модели Кокса Ингерсолла Росса. - презентация

1 Уравнения в Частных Производных Возникающие в Модели Кокса Ингерсолла Росса

2 Цель Работы Целью работы является нахождение динамики поведения цены облигации и ее переходной плотности, при условии, что краткосрочная процентная описывается стохастическим уравнением известным как модель Целью работы является нахождение динамики поведения цены облигации и ее переходной плотности, при условии, что краткосрочная процентная описывается стохастическим уравнением известным как модельКокса-Ингерсолла-Росса.

3 Основные Предположения Финансовый рынок - рынок, на котором происходит размещение первичных ценных бумаг,их продажа и покупка. Финансовый рынок - рынок, на котором происходит размещение первичных ценных бумаг,их продажа и покупка. Будем предполагать, что на рынке отсутствует возможность арбитража, т.е. получения безрисковой прибыли Будем предполагать, что на рынке отсутствует возможность арбитража, т.е. получения безрисковой прибыли

4 Облигация – долговое обязательство на фиксированную сумму денег, которая должна быть доставлена в заданную дату в будущем. Каждую облигацию в начальный момент времени характеризуют следующие параметры : Облигация – долговое обязательство на фиксированную сумму денег, которая должна быть доставлена в заданную дату в будущем. Каждую облигацию в начальный момент времени характеризуют следующие параметры : –момент погашения. –номинальная стоимость – сумма, выплачиваемая обладателю в момент погашения. –текущая (краткосрочная) процентная ставка. В работе рассматриваются дисконтированные облигации, т.е. облигации с единичной стоимостью погашения

5 Пусть обозначает цену, наблюдаемую в момент времени, дисконтированной облигации, погашаемой в момент времени, с единичной стоимостью погашения Пусть обозначает цену, наблюдаемую в момент времени, дисконтированной облигации, погашаемой в момент времени, с единичной стоимостью погашения

6 Доходность до погашения облигации в момент времени с датой погашения определяется следующим образом: Доходность до погашения облигации в момент времени с датой погашения определяется следующим образом:

7 Краткосрочная процентная ставка - мгновенная ставка или ставка непрерывного конвертирования банковского счета : Краткосрочная процентная ставка - мгновенная ставка или ставка непрерывного конвертирования банковского счета : Процентная ставка - марковский процесс, т.е. будущее развитие краткосрочной ставки определяется ее настоящей стоимостью и не зависит от прошлого поведения, которое привело ее к настоящему значению Процентная ставка - марковский процесс, т.е. будущее развитие краткосрочной ставки определяется ее настоящей стоимостью и не зависит от прошлого поведения, которое привело ее к настоящему значению

8 Модель Кокса Ингерсолла Росса Эмпирические исследования показывают, что одним из наилучших приближений поведения краткосрочной процентной ставки является модель Кокса – Ингерсолла – Росса, которая имеет следующий вид Эмпирические исследования показывают, что одним из наилучших приближений поведения краткосрочной процентной ставки является модель Кокса – Ингерсолла – Росса, которая имеет следующий вид здесь - стандартный виннеровский процесс здесь - стандартный виннеровский процесс

9 Рассмотрим далее вопрос о структуре цен облигации для указанной выше модели. При описании динамики стоимости облигации мы приходим к уравнению в частных производных, которое имеет следующий вид : Рассмотрим далее вопрос о структуре цен облигации для указанной выше модели. При описании динамики стоимости облигации мы приходим к уравнению в частных производных, которое имеет следующий вид : (1) (1) При начальных предположениях: При начальных предположениях: (2) (2)

10 Теорема Ограниченное положительное решение дифференциального уравнения в частных производных (1) с начальными условиями (2) имеет следующую форму и описывает динамику стоимости облигации, где -вырожденная гипергеометрическая функция, Ограниченное положительное решение дифференциального уравнения в частных производных (1) с начальными условиями (2) имеет следующую форму и описывает динамику стоимости облигации, где -вырожденная гипергеометрическая функция,

11 Нахождение переходной плотности цены облигации Для нахождения переходной плотности цены облигации необходимо решить обратное уравнение Колмогорова, которое в нашем случае имеет вид (3) при начальных условиях (4) здесь -функция Бесселя Для нахождения переходной плотности цены облигации необходимо решить обратное уравнение Колмогорова, которое в нашем случае имеет вид (3) при начальных условиях (4) здесь -функция Бесселя

12 Решение уравнения (3) при условии (4) имеет вид теперь воспользовавшись определением связи функции с переходной плотностью которое имеет следующую форму (5) можно найти переходную плотность Решение уравнения (3) при условии (4) имеет вид теперь воспользовавшись определением связи функции с переходной плотностью которое имеет следующую форму (5) можно найти переходную плотность

13 Воспользовавшись тем, что (5) есть преобразование Ганкеля переходной плотности распределения окончательно получаем, выражение для здесь - модифицированная функция Бесселя Воспользовавшись тем, что (5) есть преобразование Ганкеля переходной плотности распределения окончательно получаем, выражение для здесь - модифицированная функция Бесселя

14 Теперь найденной переходной плотностью распределения можно воспользоваться для нахождения обычной плотности распределения, которую, в свою очередь можно использовать для оценки параметра методом максимального правдоподобия. Теперь найденной переходной плотностью распределения можно воспользоваться для нахождения обычной плотности распределения, которую, в свою очередь можно использовать для оценки параметра методом максимального правдоподобия. Для этого необходимо решить уравнение здесь,где в свою очередь обозначает плотность распределения.

15 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ