Векторы в декартовой системе 1.Координаты вектора на плоскости. Базис плоскости. 2.Операции базисов на плоскости. 3.Проекция вектора на ось. 4.Координаты. - презентация

1 Векторы в декартовой системе 1.Координаты вектора на плоскости. Базис плоскости. 2.Операции базисов на плоскости. 3.Проекция вектора на ось. 4.Координаты вектора. Нулевой вектор. 5.Разложение вектора по базису. 6.Радиус вектор. 7.Единичная окружнсть.

2 Координаты вектора на плоскости. Базис на плоскости Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора е 1, е 2 на этой плоскости, взятые в определённом порядке Эти векторы е 1, е 2 называются базисными. Пусть на плоскости задан базис е 1, е 2. Построим прямые l 1, l 2 и, содержащие базисные векторы е 1 и е 2 соответственно. Эти прямые пересекаются, так как базисные векторы неколлинеарные. Согласно пункт 1 теоремы 1.1, вектор a можно представить в виде a=a 1 +a 2, где a 1 проекция вектора a на l 1 вдоль l 2 ; a 2 проекция вектора a на l 2 вдоль l 1, причем проекции определяются однозначно. Вектор a 1, принадлежащий прямой l 1, можно разложить по базису e 1 на этой прямой, т.е. представить в виде a 1 =x 1 e 1, пункт 1 теоремы 1.1 причем число x 1 определяется однозначно. Вектор a 2, принадлежащий прямой l 2, можно разложить по базису e 2 на этой прямой т.е. представить в виде a 2 =x 2 e 2, причем число x 2 определяется однозначно. Подставляя эти разложения в равенство a=a 1 +a 2, Получаем a= x 1 e 1 + x 2 e 2.

3 Ориентации базисов на плоскости Базис на плоскости называется правым (или, что то же самое, упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется правой парой), если кратчайший поворот от первого вектора е 1 ко второму е 2 происходит против часовой стрелки (это направление поворота считается положительным). Левым базисом на плоскости (левой парой) называется такой базис, у которого кратчайший поворот от вектора е 1 к вектору е 2 происходит по часовой стрелке (такое направление вращения считается отрицательным). Отметим следующее свойство: если неколлинеарные векторы а, в образуют правую пару, то пары, получающиеся перестановкой векторов (пара а и в) или заменой одного вектора противоположным (например а, (-в )), образуют левую пару.

4 Проекция вектора на ось. Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца вектора и его начала. Проекцию будем обозначать Пр l АВ =А 1 В 1 Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

5 Координаты вектора Пусть вектор имеет началомвектор точку А1(х 1 ;y 1 ), а концом точку А2(х 2 ;y 2 ) Координатами вектора будем называть числа а 1 =х 2 -х 1, а 2 =y 2 -y 1. Принято записывать а(а 1 ;а 2 ) или просто (а 1 ;а 2 ). Координаты нулевого вектора уровни нулю. Применив формулу, которая выражает расстояние между двумя точками по их координатам, выводится формула определения абсолютной величины (модуля) вектора с координатами а 1 и а 2, которая будет равная.

6 РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ Любые два упорядоченные неколлинеарные вектора e 1 и e 2 образуют базис на плоскости. Выражение a = α 1 ·e 1 + α 2 ·e 2 называется разложением вектора a по базису e 1, e 2 Разложение вектора в базисе единственно. Числа α 1, α 2 называются координатами вектора в базисе e 1, e 2. Обозначаем: a = (α 1, α 2 ).

7 Радиус вектор Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается r или просто r ) вектор,вектор задающий положения точки в пространстветочкипространстве относительнонекоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.началомкоординат Радиус-вектор произвольной точки пространства, вектор, идущий в эту точку из некоторой заранее фиксированной точки, называемой полюсом. Если в качестве полюса берётся начало декартовых координат, то проекции Радиус-вектор-в. точки М на оси координат (декартовых прямоугольных) совпадают с координатами точки М. Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор этопространстве вектор, идущий из начала координат в эту точку. Длина радиус-вектораДлина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства. На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направленииоси абсцисс против часовой стрелки.

8 Радиус-вектор Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике. Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x1 и y1 точки В или координаты x2 и y2 точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом. Но можно определить положение точки и по-другому, а именно с помощью радиус-вектора. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В - это конец ее радиус-вектора r1, а положение точки С - это конец ее радиус-вектора r2. Этот способ определения положения точки с помощью ее радиус-вектора называется векторным способом.

9 Единичная окружность Единичная окружность это окружностьокружность с радиусом 1 и центром в начале координат.радиусомначале координат Пусть точка, двигаясь по единичной окружности от точки P 0 (1;0) против часовой стрелки, проходит путь P 0 P α длиной α.Тогда говорят, что точка Pα изображает число α на единичной окружности или, что точка Pα получена из точки P 0 поворотом вокруг начала координат на угол α.. А знаете ли вы, что такое синус и косинус? Синус это ордината точки единичной окружности, а косинус это абсцисса точки единичной окружности. В